25. 3. Решение конечных уравнений

Для аналитического решения систем нелинейных уравнений служит команда solve. Уравнения задаются в виде символьных строк, а также символьной строкой задается список переменных, относительно которых нужно решить систему. Результат возвращается в виде массива символических переменных.

Для численного решения систем нелинейных уравнений в инструментарии для решения задач оптимизации Optimization Toolbox есть команда fsolve. При вызове команды fsolve информация о решаемой системе передается в виде функции, записанной в отдельный файл, озаглавленный так же, как называется функция (расширение дать *.m). Эта функция (написанная пользователем) по заданному вектору аргументов возвращает значения функций, которые должны обращаться в нуль.

26. 4. Решение дифференциальных уравнений

Для аналитического решения систем дифференциальных уравнений применятся команда dsolve. Она позволяет находить как общее, так и частное решение. Если начальные (или граничные) условия заданы, то команда находит частное решение, а если нет − то общее.

Сами дифференциальные уравнения, а также начальные или граничные условия должны быть заданы в виде строковых переменных. При этом применяются такие правила для обозначения производных: Dy – для первой производной; D2y − для второй; D3y − для третьей; и так далее, если y − искомая функция. Нужно указать, относительно какого аргумента решать уравнение. Результат возвращается в виде массива символических переменных. Длина массива − это количество найденных решений. Если искомых функций несколько, то каждый элемент массива является структурой, поля которой имеют такие же имена, как и искомые переменные.

Вывод строк для граничных условий осуществляется с помощью функции sprintf, которая выдаёт результат в строку.

Для численного решения систем дифференциальных уравнений в MATLAB существуют решатели дифференциальных уравнений: ode113, ode23, ode45 и др. Они применяются для разных систем (мягкие, жёсткие) и используют различные схемы численного интегрирования. Для них систему уравнений нужно привести к нормальному виду и задать начальные условия.

Преобразование типов от строки к символическому выражению создаётся командой sym. Обратная команда char применяется для преобразования символического выражения в строку.

Содержание

Предисловие 3

1. Критерии оптимальности автоматизированных систем управления 4

2. Основные понятия и определения вариационного исчисления 13

3. Основная лемма вариационного исчисления 19

4. Решение вариационных задач с использованием диффренциального

уравнения Эйлера 23

5. Исследование экстремалей функционалов 28

6. Решение вариационных задач в частных случаях уравнения Эйлера 34

7. Решение вариационных задач для функционалов с ограничениями 39

Библиографический список 46

Приложение. Элементы программирования на MATLAB 47

Редактор Т.А. Жирнова

Компьютерная верстка В.С. Николайчук

ИД № 06039 от 12.10.2001 г.

Сводный темплан 2008 г.

Подписано в печать 15.09.2008 г. Формат 6084¹/₁₆. Бумага офсетная.

Отпечатано на дупликаторе. Уч.-изд.л. 3,25. Усл. печ. л. 3,25.

Тираж 100 экз. Заказ 573.

_____________________________________________________________

Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр. Мира, 11

Типография ОмГТУ

53