3. 2.2. Выполнение заданий

Задание 1. Рассмотрите пример. Найти расстояние в классе функций C₀ и C₁ (близких в смысле близости нулевого и первого порядков, соответственно) между функциями y₁(x)=x и y₂(x)=lnx на отрезке x [e⁻¹, e].

Для вычисления расстояния в классе C₀ используем формулу

(6)

Чтобы вычислить максимальную по модулю разность между двумя функциями, воспользуемся обычными приёмами нахождения наибольшего значения функции на отрезке. Найдём все экстремумы функции y₁(x)−y₂(x) в интервале x (e⁻¹, e), затем вычислим значения этой функции на краях интервала и выберем наибольшее по модулю значение − это и будет расстояние между y₁(x) и y₂(x) в C₀. Исследуем на экстремум:

(7)

Значения функции y₁(x)−y₂(x) на краях интервала x (e⁻¹, e):

(8)

Из трёх вычисленных значений функции (они все положительные) выбираем максимальное − это и есть расстояние между функциями в C₀:

(9)

Нарисуйте с помощью MATLAB [4 – 6] графики функций y₁(x) и y₂(x) (прил.).

Опишите функции в виде символических выражений, так как дальше необходимо будет построить графики их производных:

clear all % очистили всё

syms x % символический аргумент

y1=x; % описали функции

y2=log(x);

xpl=linspace(exp(-1),exp(1)); % массив для графика

y1pl=subs(y1,x,xpl); % вычислили функции

y2pl=subs(y2,x,xpl);

plot(xpl,y1pl,'-b',xpl,y2pl,'-r') % рисуем

set(get(gcf,'CurrentAxes'),...

'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title(['\bfГрафики функций '...

'\rm\ity\rm_1(\itx\rm) и \ity\rm_2(\itx\rm)'])

xlabel('\itx') % метка оси OX

ylabel('\ity\rm_1(\itx\rm), \ity\rm_2(\itx\rm)')

da=daspect; % получили масштаб

da(1:2)=min(da(1:2)); % уравняли

daspect(da); % установили

xlim([exp(-1) exp(1)]); % пределы по оси OX.

На полученных графиках видно, что, действительно, максимальная по модулю разность между функциями y₁(x)=x и y₁(x)=lnx на интервале x[e⁻¹,e] достигается на правом краю интервала при x=e.

Теперь надо найти расстояние между функциями в C₁. Максимальная по модулю разность между значениями функции получена – это (9). Надо найти максимальную по модулю разность между производными. Экстремумы внутри интервала [e⁻¹, e]:

(10)

Значения на концах интервала:

(11)

Максимальная по модулю разность между производными:

(12)

расстояние между y₁(x) и y₁(x) в C₁ − это максимальная из величин (9)и (12):

(13)

Проверьте этот результат с помощью MATLAB: нарисуйте графики производных рассматриваемых функций.

Дифференцирование провести аналитически, с помощью команды diff. Далее выполнить те же действия, что и в предыдущей зоне ввода: подставить значения аргументов, нарисовать график, подписать заголовок и метки осей, уравнять масштабы и установить границы по оси Ox.

Dy1=diff(y1,'x') % вычисляем производные

Dy2=diff(y2,'x')

Dy1pl=subs(Dy1,x,xpl); % подставляем аргументы

Dy2pl=subs(Dy2,x,xpl);

figure % новая фигура

plot(xpl,Dy1pl,'-b',xpl,Dy2pl,'-r') % рисуем

set(get(gcf,'CurrentAxes'),...

'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title(['\bfГрафики функций '...

'\rm\ity\rm''_1(\itx\rm) и \ity\rm''_2(\itx\rm)'])

xlabel('\itx') % метка оси OX

ylabel('\ity\rm''_1(\itx\rm), \ity\rm''_2(\itx\rm)')

da=daspect; % получили масштаб

da(1:2)=min(da(1:2)); % уравняли

daspect(da); % установили

xlim([exp(-1) exp(1)]); % пределы по оси OX

На графиках видно, что максимальная по модулю разность значений производных достигается на левом краю интервала при .

Задание 2. Установить, близки ли в смысле близости нулевого и первого порядков кривые ﾧ и ﾧна отрезке ﾧ при ﾧ. Проверить результат с помощью MATLAB: нарисовать графики функций и их производных.

Задание 3. Установить, близки ли в смысле близости нулевого и первого порядков кривые ﾧ и ﾧ к функции ﾧна отрезке ﾧ при ﾧ. Проверить результат с помощью MATLAB: нарисовать графики функций и их производных.