1. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основную лемму вариационного исчисления и докажите её.

4. Решение вариационных задач с использованием дифференциального уравнения эйлера

9. 4.1. Дифференциальное уравнение Эйлера

Определение 1. Задача вариационного исчисления называется элементарной, если она формулируется следующим образом.

Задан функционал, зависящий от функции одной переменной y(t) и её производной y^’(t):

(1)

и граничные условия

(2)

где F(x,y,y^’) – непрерывная функция трех переменных и дифференцируемая функция двух своих последних аргументов.

Определение 2. Дифференциальным уравнением Эйлера называется уравнение

(3)

где F_y и F_y' – частные производные от F(x,y,y^’) по ее второму и третьему аргументам.

Определение 3. Любое решение задачи (3) с граничными условиями (2) называется экстремалью.

10. 4.2. Выполнение заданий

Задание 1. Рассмотрите пример.

Требуется найти экстремум функционала:

(4)

при граничных условиях

(5)

Решить пример аналитически. Найти частные производные F_y и F_y' от функции F(x,y,y^’) по второму и третьему аргументам:

(6)

Вычислить полную производную по x от F_y':

(7)

Составить дифференциальное уравнение Эйлера вида :

(8)

или после упрощений

(9)

Его общее решение имеет вид

(10)

Для нахождения произвольных постоянных C₁ и C₁ подставить решение (10) в граничные условия(5):

(11)

Видно, что система (11) имеет единственное решение. Решая эту систему, найти значения C₁ и C₂:

(12)

и тогда уравнение экстремали примет вид

(13)

По условию Лежандра, если на экстремали выполняется условие F_y'y' > 0, а на функциях, близких к экстремали, для произвольных y' имеет место F_y'y' ≥ 0, то достигается сильный минимум. В нашем случае это выполняется:

(14)

и, следовательно, на экстремали достигается сильный минимум.

Проверить этот результат: вычислить J(y) на нескольких функциях вида Эти функции удовлетворяют граничным условиям (5) и, следовательно, являются допустимыми. Для вычислений применить MATLAB.

clear all % очистили всё

syms x % описали символический аргумент

k=1:5; % показатели степени

y=x.^k; % символические функции

Dy=diff(y,x); % производные

F=Dy.^2+12*x.*y; % подынтегральные функции

J=int(F,x,0,1); % функционалы

Jm=eval(J); % посчитали значения

disp('k J(x^k)') % печатаем заголовок

fprintf('%d %12.10f\n',[k;Jm]) % печатаем результаты

J(x^k)

1 5. 000 000 000 0

2 4. 333 333 333 3

3 4. 200 000 000 0

4 4. 285 714 285 7

5 4. 492 063 492 1

Убедитесь, что полученный результат не противоречит выводу о том, что на функции достигается минимум. Проведенная проверка не доказывает этот факт, так как проверили только несколько из бесконечного числа функций, графики которых проходят через точки M₁(0,0) и M₂(1,1).

Доказать, применив необходимые условия экстремума функционала, что на экстремали достигается минимум.

Построить с помощью MATLAB график функции J(k).

Задание 2. Рассмотрите пример.

Найти экстремаль функционала

(15)

при граничных условиях

(16)

Для вывода уравнения Эйлера надо найти частные производные:

(17)

Уравнение Эйлера после упрощений имеет вид

(18)

Его общее решение

(19)

Найти произвольные постоянные из граничных условий (16). Подставляем решение (19) в эти граничные условия:

(20)

Мы видим, что из полученной системы уравнений можно найти только C₁ = 1, а C₂ может быть произвольной. Поэтому данная вариационная задача имеет бесчисленное множество решений вида

(21)

На любой из этих функций функционал J(y) принимает постоянное значение. Проверка по условию Лежандра даёт

(22)

поэтому на экстремалях (21) достигается сильный минимум.

Посчитать значение функционала (15) на функциях вида (21) и нарисовать несколько экстремалей с помощью MATLAB.

Показать, что на каждой из этих функций функционал равен нулю.

clear all % очистили всё

syms x % описали символическую переменную

C2=-2:2; % несколько констант

y=cos(x)+C2*sin(x); % функции

Dy=diff(y,x); % производные

F=Dy.^2-y.^2; % подынтегральные функции

J=int(F,x,0,2*pi) % функционалы

xpl=linspace(0,2*pi); % абсциссы для графика

figure % новая фигура

hold on % для рисования нескольких графиков

for k=1:length(J), % заполняем ординаты и рисуем

ypl=subs(y(k),x,xpl); % ординаты

plot(xpl,ypl) % рисуем

end

hold off

set(get(gcf,'CurrentAxes'),...

'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

xlim([0 2*pi]) % установили пределы по оси OX

da=daspect;

da(1:2)=min(da(1:2));

daspect(da); % одинаковый масштаб

xlabel ('\itx\rm') % метка оси OX

ylabel ('\ity\rm(\itx\rm)') % метка оси OY