2. Контрольные вопросы

1. В чём состоит основная задача вариационного исчисления?

2. Какое утверждение правильное: C₀C₁ или C₁C₀?

3. Если на функции y(x) достигается сильный экстремум, то достигается ли слабый? А если достигается слабый, то достигается ли сильный?

3. Основная лемма вариационного исчисления

6. 1. Лемма Лагранжа

Важную роль в вариационном исчислении играет лемма Лагранжа, которая называется основной леммой вариационного исчисления. Она используется при выводе дифференциальных уравнений Эйлера. Сформулируем и докажем эту лемму для функции одной переменной.

Лемма. Если η(x) C_k на [x₁, x₂] интеграл от произведения этой функции на другую функцию Φ(x) C_k по [x₁, x₂] равен нулю:

(1)

то это возможно только в том случае, если Φ(x)≡0 x [x₁, x₂].

Доказательство. Проведём доказательство от противного. Пусть в какой-либо точке x₀[x₁, x₂]: Φ(x₀)≠0. Для определённости будем считать, что Φ(x₀)=A>0. Свойством функции, непрерывной на интервале, является то, что если непрерывная функция в какой-то точке x₀ отлична от нуля, то существует некоторая малая окрестность этой точки, в которой функция тоже отлична от нуля и имеет тот же знак, что и в точке x₀. В нашем случае Φ(x) C_k, то есть является непрерывной. Поэтому существует некоторый интервал [x₋, x₊], в котором Φ(x)>0.

Покажем теперь, как можно построить такую функцию η(x) C_k, что (1) будет нарушаться. Возьмём η(x) в виде

(2)

За счёт показателя n можно добиться дифференцируемости нужное число раз, а за счёт k − сделать функцию сколь угодно большой или малой.

Тогда (1) будет нарушаться:

(3)

Так как каждый из сомножителей под интегралом положительный. Аналогично, если в какой-либо точке Φ(x₀)<0, то для этой же η(x) интеграл (3) будет отрицательный. Отсюда по принципу от противного следует, что, если η(x) будет выполняться (1), то это возможно, только если Φ(x)≡0.

Замечание. Основная лемма вариационного исчисления справедлива и для функции нескольких переменных. Сформулируем и докажем её для функции двух переменных. Формулируется она так: если η(x,y) C_k в области D

(4)

то это возможно только в том случае, если Φ(x,y)≡0 (x,y) D.

Доказательство проводится так же, методом от противного. Предположим, что в какой-то точке (x₀,y₀) D: Φ(x₀,y₀)=A>0. Значит, существует некоторая малая δ‑окрестность точки (x₀,y₀), в которой Φ(x₀,y₀)>0. Построим функцию η(x,y) в виде

(5)

Для этой функции η(x,y) условие (4) будет нарушаться: подынтегральная функция будет отлична от нуля (причём положительна) только в δ -окрестности точки (x₀,y₀), поэтому интеграл (4) будет положительный. Аналогично, если в какой-то точке Φ(x₀,y₀) < 0, то для подобранной нами η(x,y) интеграл (4) будет отрицательный. Следовательно, добиться выполнения (4) при произвольной η(x,y) можно, только если Φ(x,y) ≡ 0.

7. 3.2. Выполнение заданий

Задание 1. Нарисуйте с помощью MATLAB пример функции η(x) C_k в соответствии с (2) для n = 2 и k =1 при x₋=0,4 и x₊₌0,6.

clear all % очистили всё

Xminus=0.4;

Xplus=0.6;

n=2;

k=1;

x=linspace(Xminus,Xplus);

y=k.*(x-Xminus).^(2*n).*(x-Xplus).^(2*n);

plot([0 x 1],[0 y 0]) % рисуем

set(get(gcf,'CurrentAxes'),...

'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title('\bfГрафик функции \rm\eta\rm(\itx\rm)')

xlabel('\itx') % метка оси OX

ylabel('\eta\rm(\itx\rm)') % метка оси OY

xlim([0 1]); % пределы по оси OX.

Задание 2. Нарисуйте трёхмерный график этой функции с помощью MATLAB для n =2 и k =1 при x₀=0,5, y₀=0,5, δ=0,2.

Чтобы вычислить функцию z на заданной сетке, надо провести вычисления по первой части формулы (5), а затем умножить поэлементно на булевский массив. При этом происходит автоматическое приведение типов, и булевский массив преобразуется в массив нулей и единиц. Таким образом, в области D вычисления проводятся по первой части (10), а вне D будет 0.

clear all % очистили всё

x0=0.5;

y0=0.5;

delta=0.2;

n=2;

k=1;

[X,Y]=meshgrid(linspace(0,1),linspace(0,1));

z=k.*((X-x0).^2+(Y-y0).^2-delta^2).^n.*...

((delta^2-(X-x0).^2-(Y-y0).^2)>0);

surf(X,Y,z) % рисуем

set(get(gcf,'CurrentAxes'),...

'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title(['\bfГрафик функции '...

'\rm\eta\rm(\itx\rm,\ity\rm)']) % заголовок

xlabel('\itx') % метка оси OX

ylabel('\ity') % метка оси OY

zlabel('\eta\rm(\itx\rm,\ity\rm)') % метка оси OZ