4. Методические указания к расчетам и примеры решения задач

1. Плоские стержневые системы

Предложенные задачи рекомендуется решать методом перемещений на основе двух шаблонов в Excel:

• для шарнирного соединения всех узлов и приложении сил только в узлах (фермы),

• для сварной конструкции с учетом погонных нагрузок и сосредоточенных сил, приложенных между узлами (стержневая система).

В качестве дополнительного задания предлагаются задачи с комбинированным сопряжением в узлах, а также изучение шаблона с учетом совместного действия изгиба и растяжения-сжатия стержней.

Дальнейшее описание шаблонов и методики решения задач проводится на примере стержневой системы, представленной на рисунке 2.

4.1.1 Алгоритм прямого счета и описание шаблонов

Описание строится для стержневой системы. Шаблон фермы является частным случаем.

Координаты узлов в глобальной системе координат XOY представлены в таблице 6. В шаблонах таблица заполняется вручную в соответствии с заданием.

Таблица 6

Координаты	j
узлов	1	2	3	4	5
X, мм	0	2000	4000	3000	6000.0
Y,мм	0	2000	2000	500	0

Рис.2. Конструкция стержневой системы, нумерация стержней, узлов, направление локальных координат сечений стержней.

Приняты обозначения: i – номера стержней, j – номера узлов, – координаты начала и конца стержня.

В примере . Координаты начала и конца стержней приведены в таблице 7. В шаблонах таблица 7 заполняется вручную. Направление перемещения от начала к концу произвольное.

Длины стержней вычисляется автоматически. Также автоматически вычисляются синус и косинус угла наклонастержня к осиOX с учетом выбранного направления

, . (4.1)

Таблица 7

i	Xн	Yн	Xк	Yк
1	0	0	2000	2000
2	2000	2000	4000	2000
3	4000	2000	6000	0
4	2000	2000	3000	500
5	3000	500	4000	2000
6	0	0	3000	500
7	3000	500	6000	0

Перемещения и повороты узлов (для сварной конструкции) в глобальной системе координат обозначаются . Некоторые значения равны нулю (для закрепленных узлов, в таблице 3 выделены жирно), остальные подлежат определению при решении задачи и объявляются изменяемыми параметрами при формирования «Поиска решения» и автоматически изменяются по завершении расчета. Рекомендуемое начальное заполнение таблицы в рассматриваемом примере приведено в таблице 8.

Таблица 8

	j
	1	2	3	4	5
Uj	0	1	1	1	0
Vj	0	1	1	1	0
φj	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1

В соответствии с заданием в соответствующие таблицы шаблона вносятся значения сил в узлах в проекции на глобальные оси и нагрузки на стержни в локальных системах координати координата приложения силы. Также вносятся значения модулей упругости материалов стержнейE, площадей сечения F_i и моментов инерции J_i.

После заполнения таблиц исходных данных в шаблоне автоматически вычисляются перемещения концов стержней в локальных системах координат . Для их вычисления предварительно формируются вспомогательные функции, зависящие от заданной конструкции стержневой системы:

, (4.2)

, (4.3)

. (4.4)

и, соответственно,

, (4.5)

, (4.6)

, (4.7)

, (4.8)

, (4.9)

, (4.10)

*В случае меньшего, чем предусмотрено в шаблоне, числа стержней и узлов координаты узлов задаются так, чтобы они не совпадали с началом и концом «лишних» стержней. Координаты начала и конца «лишних» стержней задаются такими, чтобы выполнялось условие .

Из аналитического решения задач растяжения и изгиба автоматически вычисляются внутренние силы на концах стержней в локальных системах координат:

, (4.11)

(4.12)

(4.13)

, (4.14)

, (4.15)

.(4.16)

Также автоматически вычисляются суммы сил и моментов в узлах в глобальной системе координат:

(4.17)

(4.18)

. (4.19)

Автоматически заполняется таблица 9. В ней предварительно выделяются цветом (в пособии жирным шрифтом) ячейки, которые будут целевыми при формировании целевой функции и ограничений в «Поиске решения».

Таблица 9

Равновесие узлов (жирный шрифт-целевые ячейки)
Rxj	40000	0.0000	0.0000	0.0000	66660
Ryj	6666	0.0000	0.0000	0.0000	6666
Lj	5.96E-08	4.28E-08	0.00E+00	2.28E-08	-6.52E-09

После выполнения «Поиска решения» определяются и, соответственно, остальные параметры. В том числе вычисляются модули максимальных нормальных напряжений в двадцати точках по длине и их максимальные значения для каждого стержня.

Шаблон фермы отличается от изложенного тем, что Q=0, M=0, q=0, L=0, φ не вычисляется.