2. Сосуды и резервуары

Задачи решаем по безмоментной теории осесиметричных оболочек.

4.2.1 Алгоритм прямого счета

Осесиметричная оболочка – симметрична относительно оси как геометрически, так и по характеру приложения внешней нагрузки – давления. Например, боковая поверхности ведра, стоящего на плоскости – осесиметрична, а когда его поднимают за дужку – не осесиметрична.

Срединная поверхность имеет два радиуса кривизны: в цилиндрическом сечении ив меридиональном (осевом) сечении. Например, у трубы. Схема напряжений для бесконечно малого элемента, выделенного двумя осевыми и двумя цилиндрическими сечениями, представлена на рисунке.

Рис. 3

Составим уравнение равновесия сил вдоль нормали :

. (4.25)

После преобразования получаем уравнение Лапласа

. (4.26)

Второе уравнение можно получить, проектируя силы в цилиндрическом сечении на ось оболочки с учетом силы Р_д , действующей на днище.

Здесь приходится составлять уравнение равновесия применительно к конкретной конструкции. При этом удобно пользоваться следующими двумя теоремами.

Теорема 1.

Если на какую-то поверхность действует равномерное давление p, то независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей сил давления на заданную ось равна произведению давления p на площадь проекции поверхности на площадь, перпендикулярную заданной оси.

Теорема 2.

Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то вертикальная составляющая давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью.

Реальная оболочка разбивается на несколько простых оболочек. Запас прочности конструкции вычисляется как минимальный из запасов составляющих оболочек.

4.2.2 Примеры расчетов простых оболочек

• Шаровая оболочка радиусом R при постоянном давлении

(4.27)

• Цилиндрическая оболочка радиусом R с днищами при постоянном давлении

(4.28)

• Оболочка-резервуар радиусом R и высотой Н, заполненная жидкостью удельным весом γ

(4.29)

• Плоское днище, радиусомR и толщиной t, нагруженное равномерным давлением р.

Опасное сечение вблизи к поверхности в заделке, где

(4.30)

• Цилиндрическая оболочка-резервуар, заполненная жидкостью удельным весом γ

(4.31)

• Коническая оболочка-резервуар высотой H, заполненная жидкостью удельным весом γ на высоту H₁.

(4.33)

4.2.3 Пример решения задачи 2

Схема конструкции представлена на рис.4

Размеры конструкции (мм): R=5000, H=8000, t₁=10, t₃=18, t₂=90, k=0,6.

Нагрузки:

0…0,1 МПа (r=0), N_сут=5 циклов,

расчетный ресурс – 10 лет.

Параметры материала: σ_-1=35 МПа, σ₀=50 МПа, N_б=10⁷, m=9

Решение задачи.

1. Разбиваем конструкцию на простые оболочки: 1-сфера, 2-конус, 3-плоское днище.

2. Определяем число циклов нагружения за требуемый ресурс

.

3. Определяем коэффициент ассиметрии цикла нагружения.

Поскольку минимальные напряжения равны нулю (минимальное давление равно нулю), то для всех простых оболочек.

4. Определяем предельное значение максимальных нормальных напряжений при расчете на ограниченную выносливость

5. Рассчитываем максимальные напряжения в сфере и определяем запас прочности из расчета ограниченную выносливость:

_; 25 МПа

.

6. Рассчитываем максимальные напряжения в конусе и определяем запас прочности из расчета ограниченную выносливость:

_;;

;;,МПа;

МПа МПа.

7. Рассчитываем максимальные напряжения в плоском днище и определяем запас прочности из расчета ограниченную выносливость:

МПа;

Запас прочности конструкции при расчетном ресурсе 10 лет –

n=1,21.