1) Мгновенное поступательное движение

2).

3).

4). Распределение скоростей в диске, катящемся по неподвижной плоскости без проскальзывания.

Скорость направлена по касательной к направлению движения.

Циклоида.

БИЛЕТ 14.

Пусть - неподвижный трехгранник с.-подвижный с

-вектор угловой скорости, угловая скорость в подвижной СК относительно неподвижной СК.

Вектор и

, - постоянны.

.

Таким образом:

. , где -производная от вектора относительно неподвижного трехгранника.

Локальная производная: - производная вектораотносительно подвижной СК.

Полная производная:

+-Формула Бура. - производная вектораотносительно неподв. СК.

Полная производная вектора равна сумме локальной производной вектораи векторного произведения.

Теорема о сложении скоростей:

Сложное движение материальной точки

Сложным движением материальной точки называется движение, которое складывается из движения точки относительно подвижной с.к. и движения точки вместе с подвижной с.к.

Движение точки относительно неподвижной с.к. называется абсолютным движением.

Движение точки относительно подвижной с.к. называется относительным движением.

Движение точки с подвижной с.к. называется переносным движением.

Если радиус-векторопределяет положение точкиМ по отношению к системе координат , радиус-векторопределяет положение начала системы координатв системе, а радиус-векторопре­деляет положение точкиМ в системе координат , то

Пусть координаты точки в подвиж­ной системе координат будут тогда

где - единичные векторы осей подвижной системы координат. По определению абсолютная производная радиуса-вектора по времени будет абсолютной скоростью точки. Следовательно, диффе­ренцируя равенство по времени, найдем абсолютную скорость точки

Так как вектор определен в подвижной системе координат, то для нахождения абсолютной производной от него воспользуемся формулой

представляет собой относительную производную от по времени.

- скорость точки с относительной с.к.-относительная скорость

-скорость точки относительно неподвижной с.к.- абсолютная скорость точки

Переносной скоростью называется абсолютная скорость точки принадлежащей подвижной с.к., в которой в данный момент находиться точка.

Абсолютная скорость точки в сложном движении равна геометрической сумме скорости точки относительной и переносной.

БИЛЕТ 15.

Будем называть сложным или «абсолютным» движением точки ее движение по отношению к системе координат, выбранной за основ­ную. Движение точки по отношению к подвижной системе координат будем называть относительным.

Под переносным, движением будем понимать движение подвижной системы координат относительно неподвижной.

- скорость точки с относительной с.к.-относительная скорость

-скорость точки относительно неподвижной с.к.- абсолютная скорость точки

-переносной скоростью называется абсолютная скорость точки принадлежащей подвижной с.к., в которой в данный момент находиться точка.

Ускорение точки принадлежащей подвижной с.к. и находящаяся в данный момент там же где находиться точка M – переносное ускорение.

-локальная производная относительно скорости.

Относительным ускорением называется ускорение точки относительно подвижной с.к.

-абсолютное ускорение

Абсолютным ускорением называется ускорение точки относительно неподвижной с.к.

Теорема о сложении ускорений

Абсолютное ускорение равно геометрической сумме переносного, относительного и добавочного (ускорения Кориолиса) ускорений.

Движение вокруг осиz – переносное движение

Движение по трубе вдоль оси y – движение относительное

Суперпозиция или наложение даст нам движение абсолютное.

Иллюстрация к теореме о сложении скоростей.

Иллюстрация к теореме о сложении ускорений.

БИЛЕТ 16.

Три закона Ньютона.

I Если на м.т. не действуют никакие силы, то т-ка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Замечание: Движение относительно!

Существуют такие системы отсчета, в которых 1 з-н Ньютона выполняется, такие системы отсчета называются инерциальными.

II Если на т-ку действует сила, то она создает ускорение пропорциональное этой силе

III Если на материальная т-ка 1 действует материальную на т-ку 2 с силами F₁₂, то 2-ая точка действует на 1 точку с силами F₂₁ = - F₂₁

Некоторые вопросы о силе

Определение: Сила – это количественная мера взаимодействия материальных тел, это вектор, который определяется величиной, направлением и точкой приложения.

Аксиомы:

1. Силы приложенные в одной точке можно складывать по правилу параллелограмма

2. Силы можно переносить вдоль линии действия

Следствие:

Система сил, линия действия которых пересекаются, можно заменить одной силой приложенной к точке пересечения линий действия сил, и такая система пересекающихся сил приводиться к равновесию и называется приводящей к равнодействующей.

Прямая и обратная задача динамики точки.

Рассмативается свободная материальная точка массой , на которую действуют силы, сумма которых обозначим:.

По второму закону Ньютона: .

- дифференциальное уравнение движения точки.

- инерциальная система координат.

1). Прямая задача.

Дано:

,

Нужно найти то есть

Решается путем интегрирования дифференциальных уравнений.

2). Обратная задача.

Дано: .

Определить силы, под действием которых тело движется.

Если продифференцировать

БИЛЕТ 17.

Момент силы относительно точки.

Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы.

По определению векторного произведения ,,- правая тройка векторов.

параллелограмма.

- плечо силы.

параллелограмма =

Плечо силы- длина перпендикуляра, опущенного из той точки, относительно которой вычисляется момент силы, на линию действия этой силы.

Вектор момента относительно точки перпендикулярен плоскости векторов,,

Момент силы зависит от точки, относительно которой вычисляется момент. Момент силы может быть равен нулю, если точка, относительно которой вычисляется момент, лежит на линии действия силы.

Поместим начало системы координат в точкуили в любую другую точку.

+.

Проекции вектора момента силы относительно точкиO. на оси системы координат с началом в точкеO.

Момент силы относительно оси.

Момент силы относительно оси - произведение проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо проекции. Скалярная величина.

БИЛЕТ 18.

Главный вектор и главный момент системы сил.

Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма всех сил системы.

- сумма векторов элементов всех сил, взятых относительно точки O.

. При совершении этой операции допускается перенос всех векторов в точку O.

При изменении точки приведения системы сил главный вектор системы сил не изменяется, а главный момент меняется.

Изменение точки приведения:

.

Главный момент системы относительно точки равен главному моменту системы относительно точки+ моменту главного вектора относительно точки, если бы этот главный вектор был приложен к точке.

Условие равновесия системы сил: система сил или система АТТ, на которую действует система сил находится в равновесии тогда и только тогда, когда равны нулю главный вектор системы сил и главный момент системы сил.

Это условие сохраняется при изменении точки приведения.

БИЛЕТ 19.

Парой сил называется система двух сил, равных по величине и противоположных по направлению. Линии действия этих сил параллельны. Расстояние межу этими линиями действия сил называется плечом пары.

Плоскость, в которой лежат прямые называется плоскостью пары.

Теорема: момент пары сил не зависит от точки, относительно которой этот момент вычисляется. Момент пары сил равен моменту одной из сил, составляющих пару, относительно точки приложения другой.

Момент пары сил:

Не зависит от выбора точки

перпендикулярен плоскости пары.

Момент пары сил полностью характеризует пару.

Как расположены плоскости для эквивалентной пары сил?- Они параллельны.

Чему равен главный вектор пары сил? = 0.

БИЛЕТ 20.

Все точки системы находятся под действием силы.

- силы, действующие на точки системы со стороны внешних по отношению к этой системе тел.

- силы, действующие между точками системы.

- сила, действующая на -ю точку со стороны- й точки системы.

По третьему закону Ньютона: . Они равны по модулю и действуют по прямой, их соединяющей, в противоположные стороны.

Тогда для -й точки системы:

- слева.

=.

Главный вектор внутренних сил, потому что все силы встречаются парами равными по величине и противоположными по направлению.

БИЛЕТ 21.

Количеством движения материальной точки называется сумма произведений масс на их скорость.

- вектор количества движения.

Все эти точки находятся под действием силы.

- силы, действующие на точки системы со стороны внешних по отношению к этой системе тел.

- силы, действующие между точками системы.

- сила, действующая на -ю точку со стороны- й точки системы.

По третьему закону Ньютона: . Они равны по модулю и действуют по прямой, их соединяющей, в противоположные стороны.

Тогда для -й точки системы:

- слева.

=.

Главный вектор внутренних сил, потому что все силы встречаются парами равными по величине и противоположными по направлению.

- теорема об изменении количества движения системы материальных точек в инерциальной системе отсчета.

Производная по времени от вектора количества движения равна главному вектору внешних сил.

, ,.

Система материальных точек называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы; и если на систему не действуют внешние силы, то вектор количества движения (импульса) есть величина постоянная.

БИЛЕТ 22.

Центр масс системы материальных точек- это точка, полжение которой в пространстве опредляется вектором .

.

Координаты центра масс:

- радиус-вектор относительно центра масс.

, но

Связь вектора количества движения со скоростью центра масс:

, где - масса всей системы.- скорость центра масс.

Тогда из теоремы изменения количества движения следует теорема о движении центра масс:

Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил.

Если = 0, то центр масс системы находится в покое или в состоянии равномерного прямолинейного движения.

БИЛЕТ 23.

Кинетическим моментом системы материальных точек относительно точки называется сумма векторных произведений радиус-векторов относительно точкина импульс точек.

Инерциональная с.о.

Пример:

Теорема об изменении кинетического момента.

Производная по времени в инерциальной системе отсчета от вектора кинетического момента системы относительно точки равна главному моменту внешних сил в двух случаях:

1). Если точка неподвижна (=0)

2). Точка совпадает с центром масс.

()

Главный момент системы внутренних сил равен нулю, потому что силы встречаются парами, равными по величине, противоположными по направлению и направленными по одной прямой.

Таким образом,

,-центр масс.

, - неподвижная точка.

БИЛЕТ 24.

Мощностью силы , приложенной к точкеназывается скалярное произведение силы на скорость в точке.

Элементарная работа силы на элементарном перемещении точки

:

Теорема: (об изменении кинетической энергии системы)

Производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей внутренних и внешних сил, действующих на точки системы. Приращение кинетической энергии системы материальных точек равно сумме элементарных работ внутренних и внешних сил, действующих на точки системы.

Доказательство:

Система материальных точек.

(внутр.и внешн)

(так как )

Мощность момента пары сил, приложенных к АТТ.

Пусть есть АТТ.

=

= мощность пары можно записать так:

= произведение угловой скорости на момент этой пары.

БИЛЕТ 25.