1). Нерастяжимая нить.

2). Скольжение по гладкой поверхности.

3). Качение без проскальзывания.

, так как возможное перемещение в точках контакта с поверхностью = 0.

4). Неподвижный цилиндрический шарнир.

5). Подвижный шарнир.

БИЛЕТ 29.

Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложеныголономных связей. Извариаций декартовых координат точек системы независимыми будут только.

Это число и назовем числом степеней свободы системы.

Число степеней свободы = числу независимых возможных скоростей.

Если на систему наложены голономных связей, то возможно введениепараметров

{,}, которые:

1). Полностью определяют положение системы

2). Не зависят друг от друга.

- обобщенные координаты.

Обобщенные координаты- параметров, если они 1) и 2).

Пример:

,

- 4 уравнения голономных стацион. связей

,

Обобщенные скорости:

- всего

Если введены обобщенные координаты

Скорость точки:

Если связи, наложенные на систему стационарные, то последнее слагаемое равно нулю.

При фиксированном :.

не зависят друг от друга.

,

БИЛЕТ 30.

Обобщенные силы.

, ,- силы реакции.

Пусть в системе введены обобщенные координаты: (степеней свободы).

Возможное перемещение: :.

Тогда элементарная работа активных сил

, где - обобщенная активная сила.

Обобщенные силы- коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил по вариации обобщенных координат.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соотвествующей обобщенной координаты.

Если обобщенная координаты угловая, то соответствующая обобщенная сила имеет размерность , то есть размерность момента.

Обобщенная сила- скалярная величина.

Рассмотрим элементарную работу сил реакции связи.

, где - обобщ.сила реакции.

Если связи, наложенные на систему являются идеальными, то = 0= 0

= 0, , …,.- обобщенные координаты, не зависят друг от друга.- независимы. Можно не говорить об обобщенных силах реакции в идеальных связях.

Рассмотрим систему материальных точек со связями:

………

- угловая скорость точки.

БИЛЕТ 31.

Принцип Даламбера:

БИЛЕТ 32.

Принцип Даламбера:

Сумма элементарных работ сил инерции, активных сил и сил реакции связи = 0. Если связи, наложенные на систему, идеальные, то .

Принцип Даламбера для систем с идеальными связями: сумма элементарных работ и элементарных сил на возможных перемещениях = 0. .

Пусть система материальных точек с идеальными связями находится в равновесии.

, ,.

Принцип Даламбера: - прицип возможных перемещений.

Необходимым и достаточным условием равновесие системы с идеальными связями является равенство нулю суммы элементарных работ активных сил на возможных перемещениях.

Принцип возможных перемещений- условие равновесия!!!!!!!!!!

Рассмотрим систему с идеальными связями.

Обобщенные координаты

. Так как - независимы,

. - вариация- й обобщенной координаты.

Следствие: .Система с идеальными связями находится в равновесии тогда и только тогда, когда все обобщенные силы равны нулю.

БИЛЕТ 33.

Доказательство уравнения Лагранжа 2-го рода.

- ?

.

Тождество Лагранжа.

линейная функция от

Для достаточно гладких функций:

БИЛЕТ 34.

Уравнение равновесия консервативных систем (с идеальными голономными связями).

Идеальные голономные связи.

Из принципа возможных перемещений ,- число степеней свободы.

Для консервативных систем:

- уравнение равновесия консервативной системы.

Решая эти уравнения, можно получить положение равновесия консервативной системы.

ДАНО:

- невесомый стержень.

- жесткость пружины.

- длина пружины в ненапряженном состоянии.

Найти: положение равновесия.

Решение:

Запишем потенциальную энергию.

, текущая длина пружины.

Равенство нулю возможно в двух случаях:

1) . (нижнее положение маятника). Устойчивое равновесие.

2). . (верхнее положение маятника). Неустойчивое равновесие.

Теперь рассмотрим неконсервативную систему.

Условие равновесия- принцип возможных перемещений (для систем с идеальными связями).

сумма элемент. сумма мощност. акт.

работ акт. сил вычисл. на возм. скор.

ДАНО:

,

Найти:

, чтобы система была в равновесии.

Решение: система с идеальными связями

Идеальные связи:

В точке - неподвижный шарнир., так как=0.

Аналогично в точке - неподвижный шарнир.

В точке - подвижный внутренний шарнир.

В точке - подвижный внутренний шарнир.

Силы, действующие во внутреннем подвижном шарнире на тела, соединенные этим шарниром, равны по величине и противоположны по направлению, а скорости в этих точках у тел равны между собой.

Суммарная мощность сил реакции в подвижном внутреннем шарнире =0.

Связи иделаьные.

Условие равновесия: - принцип возможных перемещений.

.

и- точки АТТ.

, ,

Уравнение равновесия неконсервативных систем (с идеальными голономными связями).

, - число степеней свободы.

все обобщенные силы

, ,- параллелограмм.

, ,- вес поршня.

Система с одной степенью свободы. Обобщенная координата- угол между осью и

{=0,=}

==

Уравнение равновесия:

Если 3 степени свободы, то 3 уравнения равновесия.

БИЛЕТ 35.

Уравнения плоскопараллельного движения АТТ.

В кинематике уравнения движения плоского сечения:

Три степени свободы.

Свободное тело: (нет связей).

Работают уравнения Лагранжа.

Суммарная мощность всех сил и моментов, приложенных к АТТ равна мощности главного вектора системы сил, как если бы он был приложен к центру масс, и мощности главного момента всех сил, относительно центра масс.

=

Обобщенные силы

, ,

(- главный вектор системы сил,- главный момент системы сил, приложенных к АТТ).

Запишем 3 уравнения Лагранжа:

,

,

,

Следствие: Если АТТ может совершать только поступательное движение по оси , то это движение описывается одним уравнением:

Если же АТТ совершает поступательное и вращательное движение, то 2 уравнения.

Уравнение вращения АТТ вокруг неподвижной оси.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то оно имеет одну степень свободы. Его положение определяется одной координатой: углом поворота.

Составляя уравнение Лагранжа для тела с одной степенью свободы, получим уравнение вращения АТТ вокруг оси: илиили.