u_lectures

41

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта. Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма момен-

тов импульса отдельных частиц:

					n
			Lz = ∑miϑi ri
					i=1			.
	Используя формулу ϑi = ωri , получим
		n				n
		Lz = ∑mi ωri2			= ω∑mi ri2 = Jz ω					,
		i=1				i=1
т.е.				Lz	= J z ω.					(5.10)
	Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен
произведению момента инерции тела								относительно той же оси на угло-
вую скорость.
	Продифференцируем уравнение по времени:
			dLz	= J z		dω		= J z ε = M z
	dLz		dt			dt			,
т.е.		= Mz .
	dt
	Это выражение – еще одна форма							уравнения (закона) динамики вра-

щательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. Можно показать, что имеет место векторное равенство

		dL	r
			= M
		dt
			.		r	(5.11)
	В замкнутой системе момент внешних сил M = 0 и				dL	= 0 , откуда
					dt
		L − const .
						(5.12)
	Выражение (5.12) представляет собой			закон сохранения момента им-

пульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидящий на скамье, которая без

42

трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели, приведен во вращение с угловой скоростью ω.

Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется, и угловая скорость вращения ω2 возрастает. Гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

J1ω1 = J2ω2 и J1 J2 → ω1 ω2 .

Лекция №6 (Тема 6)

1.6.1. Гармонические колебания и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например, качание маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и другие. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода в изучении колебаний различной физической природы.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; различные периодические процессы можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колебания величины s описываются уравнением

типа
s = A cos(ω0 t + ϕ),	(6.1)

где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебаний; ω0 – круговая (циклическая) частота; ϕ – начальная фаза колебаний; в момент времени t=0; (ω0t+φ) – фаза колебаний в момент вре-

43

мени t. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то S может принимать значения от +А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом ко-

лебания, за который фаза колебания получает приращение 2π, т.е.

ω0 (t + T) + ϕ = (ω0 t + ϕ)+ 2π,

T =	2π
	ω0 .
откуда					(6.2)
Величина, обратная периоду колебаний,
ν =		1
		T ,			(6.3)

т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (6.3) и (6.2), получим ω0=2π.

Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц - частота периодического процесса, при котором за 1 с совершается один цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически

колеблющейся величины s (соответственно скорость и ускорение):
		ds		= −Aω0 sin(ω0 t + ϕ)= Aω0		π
					cos ω0 t + ϕ +
		dt
						2	(6.4)
	d 2s
				= −Aω2 0 sin(ω0 t + ϕ)= Aω2	0 cos(ω0 t + ϕ + π)
	dt 2						(6.5)
						.

т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (6.4) и (6.5) соответственно равны Aω0 и Aω02.

Фаза скорости (6.4) отличается от фазы величины (6.1) на π2 , а фаза ус-

корения (6.5) отличается от фазы величины (6.1) на π.

Следовательно, в момент вре-

мени, когда s=0, dsdt приобретает

наибольшие значения, когда же s достигает максимального от-

d2s

рицательного значения, то dt2 при-

обретает наибольшее положительное значение (рис. 6.1).

Рис. 6.1

44

Из выражения (6.5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

d2s
dt2 + ω02s = 0 ,	(6.6)

где учтено, что s=Acos(ω0t+φ). Решением этого уравнения является выраже-

ние (6.1).

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом ϕ, равным начальной фазе колебаний, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 6.2) . Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω0, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от -А до + А , а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону

s = A cos(ω0 t + ϕ).

Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом ϕ, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω0 вокруг этой точки.

Рис. 6.2

1.6.2. Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогичным уравнению (6.1), где s=х:

х = Аcos(ω0t + ϕ) .

(6.7)

Согласно выражениям (5.4) и (5.5), скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны:

45

v= −Aω0 sin(ω0 t + ϕ)= Aω0 cos ωt + ϕ + π

2 ;

a = −Aω02 cos(ω0 t + ϕ)= Aω02 cos(ωt + ϕ + π).

(6.8)

Сила F=ma, действующая на колеблющуюся материальную точку массой m, с учетом (6.1) и (6.8) равна

F = −mω02 x .

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

	mϑ2					mA2ω02 sin2 (ω0t + ϕ)
T =				=
	2									2			.					(6.9)
Потенциальная энергия		материальной точки, совершающей гармони-
ческие колебания под действием упругой силы F, равна
х			2		2			mA	2	2	2	(ω0 t + ϕ)
П = −∫Fdx =		mω0 x					=			ω0 cos						.
										2								(6.10)
0			2
								Сложив (6.9) и (6.10), получим
				формулу для полной энергии
									E = T +		П =		mA2		ω02
													2		.			(6.11)

Полная энергия остается постоянной, т.к. при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила

консервативна.

Рис. 6.3

На рис. 6.3 представлены графики зависимости х, Т и П от времени:

1.6.3. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (6.6):

&&	2	(6.12)
s	+ ω0 s = 0 .
Колебания гармонического осциллятора являются важным примером
периодического движения и служат точной		или приближенной моделью

во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармониче-

ет гармонические колебания по закону тотой

.

Из выражений (6.12) и (6.1) следует, что пружинный маятник соверша- x = A cos(ω0 t + ϕ) с циклической час-

&x& + kxm = 0

46

ского осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники.

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k -коэффициент упругости, в случае пружины называемый жесткостью. Уравнение движения маятника

m&x& = −kx

или

	ω =	k
	0	m	(6.13)
	и периодом
	T = 2π	m	(6.14)
		k .

Формула (6.14) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (6.10) и (6.13), равна

П = kx2

2 .

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс С тела (рис. 6.4).

47

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол α, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент М вращающей силы можно записать в виде

		М = Jε = Jα = Fl = −mglsin α ≈ −mglα, (6.15)
				&&
		где J – момент инерции маятника относитель-
		но оси, проходящей через точку О, l – рас-
		стояние между точкой подвеса и центром масс
		маятника,				Fτ = −mgsin α ≈ −mgα -	возвра-
		щающая сила (знак минус обусловлен тем, что
		направление Fτ и α всегда противоположны;
		sinα≈α соответствует малым отклонениям ма-
Рис. 6.4		ятника из положения равновесия).
Уравнение (6.15) можно записать в виде
		Jα + mglα = 0
		&&
или					mglα
		&&				= 0 .
Принимая		α+			J
				= mgl
		ω	0
					J	,	(6.16)
	2
&&		α = 0, идентичное (6.12), решение которого (6.1)
получим уравнение α + ω0
известно:		α = α0 cos(ω0t + ϕ).
							(6.17)

Из выражения (6.17) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω0 (см. (6.18)) и периодом

		T =	2π = 2π	J	= 2π	L
	J		ω0	mgl		g ,	(6.18)
где L =		– приведенная длина физического маятника.
	ml

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

48
Момент инерции математического маятника
J = ml2 ,	(6.19)

где l - длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке – центре его масс, то, подставив выражение (5.19) в формулу (5.18), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

Т = 2π	l
	g .	(6.20)

Сравнивая формулы (5.18) и (5.20), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то их периоды колебания одинаковы. Следовательно, приведенная длина математического маятника – это длина математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Лекция №7 (Тема 7)

1.7.1. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью к.-л. периодически действующего фактора x(t), изменяющегося по гармоническому закону:

x(t) = x 0 cos ωt .

Если рассматривать механические колебания, то роль x(t) играет внешняя вынуждающая сила

	F = F0 cos ωt ,					(7.1)
С учетом силы закон движения для пружинного маятника запишется в
виде						(7.2)
mx = −kx − rx + F0 cos ωt .
	&&	&
&&	&	2	F0	cos ωt
x	+ 2δx + ω0 x =		m		.	(7.3)

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными механическими.

49

Уравнение можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

	d2 x	+ 2δ	dx	+ ω02 x = x0 cos ωt
	dt2		dt		(7.4)
				,

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкрет-

ной физической природы (х0

в случае механических колебаний равно F0/m).

Решение уравнения

равно

сумме

общего

решения

x = A

0

e−δt

cos(ω t + ϕ

0

)

(7.5)

d2 x

1

dx

2

однородного уравнения

+ 2δ

+ ω0 x

= 0 и частного решения

dt2

dt2

arctg2δω

x0 cos ωt −

2

− ω

2

x = (ω2

ω0

− ω2 )2 + 4δ2ω2

(7.6)

неоднородного уравнения, где

0

x 0

A =

(ω02

− ω2 )2

+ 4δ2 ω2

,

(7.7)

ϕ =

arctg2δω

ω02

− ω2 .

(7.8)

Слагаемое играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (7.8).

Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний также зависят от ω. Графически вынужденные колебания представлены на рис. 7.1.

Рис. 7.1

1.7.2. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты ω.

Чтобы определить резонансную частоту ωрез - частоту, при которой амплитуда А смещения достигает максимума, - нужно найти максимум

50

функции или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по w и приравняв к нулю, получим условие, определяющее ωрез:

− 4(ω02 − ω2 )ω + 8δ2 ω = 0 .
Это равенство выполняется при ω = 0, ± ω02 − 2δ2	, у которого только

лишь положительное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

ω	рез	= ω2	− 2δ2	(7.9)
		0	.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте ωрез называется резо-

нансом. При δ2<<ω02 значение ωрез практически совпадает с собственной час-

тотой ω0 колебательной системы. Подставляя, получим

Арез =	х0
	ω02 − 2δ2 .
		(7.10)

На рис. 36 приведена зависимость амплитуды колебаний от частоты при различных δ.

Из (7.9) и (7.10) вытекает что, чем меньше δ, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если ω→0, то все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению х0/ω02 так называемому статическому отклонению.

В случае механических колебаний

х0

=

F0

ω02

mω02 . Если ω→∞, то все кривые

асимптотически стремятся к нулю.

Приведенные на рис. 7.2 кривые назы-

ваются резонансными кривыми.

Из формулы вытекает, что при

малом затухании δ2<<ω02

резонансная

амплитуда смещения

Рис. 7.2

х0

ω0 х0

Qx 0

Арез =

=

=

2δω2

ω2

2δω0

(7.11)

0

0 ,