2.4. Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова 43
неравенство
dU(y(t)) > β0. dt
Почленно интегрируя на отрезке [0, t] и переходя к пределу при t → +∞, имеем
U(y(t)) > U(y0) + β0t → +∞, y(t) D0,
что противоречит ограниченности непрерывной функции U(y) на замкнутом ограниченном множестве D0. Поэтому исходное предположение неверно. Неустойчивость по Ляпунову нулевого решения доказана. 
Пример 2.4.5. Исследуем устойчивость решения (0, 0) системы
dy1/dt = y1y24, dy2/dt = y14y2.
Имеем f1(y1, y2) = y1y24, f2(y1, y2) = y14y2,
A = |
∂yi j |
= |
0 |
0 . |
|
∂f (0, 0) |
|
0 |
0 |
Первый метод Ляпунова неприменим, так как матрица A имеет собственные значения λ1,2 = 0.
Рассмотрим функцию U(y1, y2) = y1y2. Пусть D – совокупность двух секторов, отсекаемых от единичного круга первой и третьей координатными четвертями, граница 0 состоит из лежащих на осях
OY1 и OY2 радиусов. Имеем |
|
||||
|
∂V (y1, y2) |
f1(y1, y2) + |
∂V (y1, y2) |
f2(y1, y2) = y2 · y1y24 + y1 · y14y2 = |
|
|
∂y1 |
∂y2 |
|
||
= y1y2(y14 + y24) = y1y2((y12 − y22)2 + 2(y1y2)2) > 2(y1y2)3 > 2α3
при условии y1y2 > α > 0. Таким образом, выполнены условия теоремы
2.4.3с β(α) = 2α3, и нулевое решение неустойчиво по Ляпунову.
2.4.6.Устойчивость точек покоя
Точка y0 Rn называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
||
dy |
= |
|
( |
|
(t)), |
(2.30) |
||||
f |
||||||||||
y |
||||||||||
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
44 |
Глава 2. Теория устойчивости |
если f(y0) = θ. Таким образом, координаты точек покоя находятся из системы уравнений
f1(y1, . . . , yn) = 0,
. . .
fn(y1, . . . , yn) = 0.
Если y0 – точка покоя, то функция y(t) = y0 является не зависящим от переменной t решением системы (2.30). Траектория такого решения представляет собой прямую линию в пространстве (t, y1, . . . , yn), а в фазовом пространстве переменных (y1, . . . , yn) – одну точку. Будем называть точку покоя y0 устойчивой, асимптотически устойчивой или неустойчивой по Ляпунову, если соответствующее решение y(t) = y0 устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво по Ляпунову.
Для исследования устойчивости точки покоя можно сделать замену переменных y(t) = yb(t) + y0 и перейти к исследованию устойчивости нулевого решения системы
|
dy(t) |
= |
|
(y(t)), |
|
(y) = |
|
(y + |
|
|
). |
|
F |
F |
f |
|
|||||||
|
y |
|
|||||||||
b |
0 |
||||||||||
|
|
|
b |
|
b |
|
b |
|
|
||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для применения теоремы 2.3.1 вычислим элементы матрицы производных A = (aij):
aij = |
∂Fi |
(0, . . . , 0) = |
∂fi |
( |
|
0). |
|
y |
|||||||
|
|
||||||
|
∂yj |
∂yj |
|||||
В результате приходим к утверждению об устойчивости по первому приближению произвольной (не обязательно нулевой) точки покоя.
Теорема 2.4.4. Пусть y0 – точка покоя системы (2.30), функции fj(y) дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности
|
0, j = 1, . . . , n. |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если все собственные значения матрицы A = |
∂f |
( |
|
|
)/∂y |
имеют |
|
|
y |
|
||||||
отрицательные вещественные части: |
i |
|
|
0 |
|
j |
||
Re λk < 0, k = 1, . . . , n,
то точка покоя y0 асимптотически устойчива по Ляпунову.
Если же найдется хотя бы одно собственное значения матрицы
A = ∂fi(y0)/∂yj с положительной вещественной частью:
λ {λ1, . . . , λn} : Re λ > 0,
то точка покоя y0 неустойчива по Ляпунову.