3.2. Функция Грина

59

Следовательно, для определителя Вронского

W [y

1

, y

2

](x) = y

1

(x)y0

(x)

−

y

2

(x)y0

(x)

2

1

справедлива формула p(x)W [y1, y2](x) = c, 0 6 x 6 l, где c – постоянная,
или	W [y1, y2](x) =	c		0 6 x 6 l.				(3.14)
			,
		p(x)
3.1.4. Формула Грина и ее следствие
Интегрируя тождество Лагранжа (3.12) от 0 до l, получим
Z	l						x=l
	(z(x)Ly − y(x)Lz) dx = p(x) z(x)y0			(x) − y(x)z0	(x)			(3.15)
							x=0.
0

Эта формула называется формулой Грина.

Покажем, что, если функции y(x) и z(x) удовлетворяют одним и тем же краевым условиям (3.11), то справедливо равенство

l

Z

(z(x)Ly − y(x)Lz) dx = 0.

(3.16)

0

Действительно, из формулы Грина следует, что достаточно доказать равенство

p(l) z(l)y0(l) − y(l)z0(l) − p(0) z(0)y0(0) − y(0)z0(0) = 0.

Покажем, что

z(0)y0(0) − y(0)z0(0) = 0.

(3.17)

Если α1 = 0, то β1 6= 0, y(0) = 0, z(0) = 0, и (3.17) выполнено. При α1 6= 0 запишем граничные условия

α1y0(0) + β1y(0) = 0, α1z0(0) + β1z(0) = 0,

умножим первое равенство на z(0), второе – на y(0). Вычитая почленно полученные равенства, имеем

α1(z(0)y0(0) − y(0)z0(0)) = 0,

откуда вытекает (3.17). Аналогично доказывается, что z(l)y0(l) − y(l)z0(l) = 0.

Тем самым равенство (3.16) доказано.