72 Глава 3. Краевые задачи

Пусть λ больше нуля. Тогда общее решение уравнения (3.41) имеет

вид	√λx + c2 cos √λx.
y(x) = c1 sin

Из краевого условия в нуле следует, что c2 = 0. Тогда из краевого условия√в π получим уравнение для определения собственных значений sin λπ = 0. Его решениями являются собственные значения

λn = n2, n = 1, 2, . . . .

Соответствующие им собственные функции

yn(x) = c sin nx,

где c – произвольная отличная от нуля постоянная.

3.3.1. Теорема Стеклова

Сформулируем теорему, подчеркивающую важность задачи Штурма-Лиувилля.

Рассмотрим собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (3.33)- (3.35). Можно показать, что их счетное число. Следовательно все их можно занумеровать yn(x), n = 1, 2, . . . . Чтобы устранить неопределенность, связанную с тем, что они содержат произвольный сомножитель, будем считать, что

l

Z

(yn(x))2dx = 1.

0

Пусть f(x) некоторая непрерывная на [0, l] функция. Введем обозначение

fn = Z	l
	f(x)yn(x)dx, n = 1, 2, . . . .
0

Сформулируем теорему, имеющую важное значение во многих областях математики и ее приложений.

Теорема 3.3.5. (Теорема Стеклова) Если f(x) C2[0, l] и удовлетворяет краевым условиям (3.34), (3.35), то ряд

∞

X

fnyn(x)

n=1

3.3. Задача Штурма-Лиувилля		73
сходится равномерно на отрезке [0, l] к функции f(x), то есть
	∞
	X
f(x) =	fnyn(x), 0 6 x 6 l.

n=1