16Глава 1. Зависимость решения задачи Коши от исходных данных
1.2.3.Метод малого параметра
Во многих случаях не удается явно выписать решение задачи Коши
y0(t) = f(t, y(t), µ), y(t0) = y0(µ) |
(1.20) |
для всех µ [µ1, µ2], хотя при некотором µ = µ0 (µ1, µ2) оно находится относительно легко (например, когда функция f(t, y, µ0) линейно зависит от y). Обозначим это решение через u0(t). Тогда u0(t) = y(t, µ0) является решением задачи Коши
u00 (t) = f(t, u0(t), µ0), u0(t0) = y0(µ0). |
(1.21) |
Будем предполагать, что решение u0(t) задачи (1.21) каким-либо способом уже найдено, и поставим задачу нахождения приближенного вида решения y(t, µ) задачи (1.20) при всех µ, достаточно близких к µ0 при выполнении условий теоремы 1.2.2. В силу этой теоремы при каждом t [t0 − T, t0 + T ] решение y(t, µ) непрерывно дифференцируемо по параметру µ в окрестности µ0. Поэтому справедлива формула Тейлора (с центром в µ0) с остаточным членом в форме Пеано:
y(t, µ) = y(t, µ0) + ∂y(t, µ0) (µ − µ0) + o¯(µ − µ0). ∂µ
∂y(t, µ0)
∂µ
не нужно знать решение y(t, µ) при каких-либо значениях параметра, отличных от µ = µ0, поскольку согласно (1.18), (1.19) функция u1(t) является решением задачи Коши
u10 (t) = a(t)u1(t) + b(t), u1(t0) = y00 (µ0) |
(1.22) |
для линейного дифференциального уравнения с известными непрерывными коэффициентами
a(t) = fy(t, u0(t), µ0), b(t) = fµ(t, u0(t), µ0).
В результате приходим к асимптотическому при µ − µ0 → 0 представлению искомого решения y(t, µ) задачи (1.20):
y(t, µ) = u0(t) + u1(t)(µ − µ0) + o¯(µ − µ0), t [t0 − T, t0 + T ], (1.23)
1.2. Зависимость решения от параметра |
17 |
где функции u0(t) и u1(t) находятся из задач (1.21) и (1.22). Поэтому с точностью до слагаемых o¯(µ − µ0) справедливо приближенное представление y(t, µ) ≈ u0(t) + u1(t)(µ − µ0).
Описанная выше процедура представляет собой простейший вариант метода малого параметра, позволяющего с помощью разложения (1.23) выяснить основные качественные и количественные закономерности поведения решения y(t, µ) при малых µ − µ0 на основе известного решения y(t, µ0) в предположении существовании непрерывных производных первого порядка fy(t, y, µ) и fµ(t, y, µ). Если f(t, y, µ) имеет производные по y и µ высших порядков, то и разложение (1.23) можно уточнить и получить приближение с более высоким порядком малости остаточного члена.
Пример 1.2.1. Получить асимптотическое при µ → 0 разложение решения задачи Коши
y0(t) = y(t) + 3µy4(t) + µ2t, y(0) = exp |
2µ |
. |
{ |
} |
|
Имеем t0 = 0, µ0 = 0, y0(µ) = exp{2µ}, y00 (µ) = 2 exp{2µ},
f(t, y, µ) = y + 3µy4 + µ2t, fy(t, y, µ) = 1 + 12µy3, fµ(t, y, µ) = 3y4 + 2µt, f(t, y, 0) = y, fy(t, y, 0) = 1, fµ(t, y, 0) = 3y4, y0(0) = 1, y00 (0) = 2.
Согласно (1.21) при µ = 0 функция u0(t) = y(t, 0) является решением
задачи Коши
u00(t) = u0(t), u0(0) = 1,
решение которой легко найти: u0(t) = exp{t}. Поэтому
fy(t, u0(t), 0) = 1, fµ(t, u0(t), 0) = 3 exp{4t}.
Задача Коши (1.22) для u1(t) принимает вид
u0 |
(t) = u |
(t) + 3 exp 4t |
, |
u |
(0) = 2 |
1 |
1 |
{ } |
|
1 |
|
и имеет решение u1(t) = 2 exp{t} + exp{4t}. Тогда в силу (1.23) имеет место разложение при µ → 0:
y(t, µ) = exp{t} + (2 exp{t} + exp{4t})µ + o¯(µ).