МЭИ(ТУ) Физика

	∆E к = −	(m +M )u2	,	(3)
		2

где u – общая скорость груза и сваи после удара.

При таком рассмотрении предполагаем, что удар настолько кратковременный, что смещением сваи в процессе удара можно пренебречь. Работа силы сопротивления

Aсопр = −F s

(4)

(знак «минус» объясняется направлением искомой силы F).

После подстановки выражений (2), (3), (4) в уравнение (1) видно, что нахождение силы сопротивления сводится к определению скорости u. Так как скорость и является следствием ударного взаимодействия двух тел, она может быть найдена только с помощью закона сохранения импульса. Но система груз-свая не является замкнутой системой потому, что на взаимодействующие тела действуют внешние силы – сила тяжести и сила сопротивления грунта. Эти силы, во-первых, коллинеарны со скоростями и, во-вторых, заведомо не уравновешивают друг друга, так как в процессе взаимодействия сила сопротивления изменяется по величине. Поэтому в данной задаче закон сохранения может быть использован только в предположении, что сила взаимодействия, развиваемая при ударе, велика по сравнению с указанными внешними силами.

РЕШЕНИЕ
Подставив в уравнение (1) выражения (2), (3), (4), получим
(m + M )gs +	(m + M )u2	= Fs .	(5)
2
Применяя к системе груз-свая закон сохранения количества движения, получим
M v = (M + m )u ,			(6)

где v – скорость груза в конце падения с высоты h. Если не учитывать сопротивления воздуха и трения, то

v =		2gh ,
откуда
u =	M	2gh .	(7)
	M + m

Заменяя и через выражение (7), окончательно находим

	F =	M 2 g	h	+ (m +M )g =1 105	Н .	(8)
		M + m
			s

Проведем анализ размерностей полученной формулы в системе L, M, Т, т. е. в такой системе, в которой в качестве основных величин выбраны длина (L), масса (M), время (T). К таким системам в частности относятся системы СГС и СИ.

Размерность силы10

dim F = MLT −2 .

Размерность первого слагаемого правой части уравнения (8)

M 2 TL2 M1 LL = MLT −2 ;

размерность второго слагаемого

M TL2 ≡ MLT −2 .

Как видно, размерности всех членов равенства совпадают и равны размерности силы. Можно также проводить проверку формулы, пользуясь размерностями единиц из-

мерений в определенных системах. Например, в системе СИ будем иметь для первого слагаемого

M

2

g

h

кг

2

м2

м

кг

2 м

=

=

= Н ;

м

с

M + m s

кг с

для второго слагаемого

[(M + m)g]= кг см2 = Н .

Следовательно, подставив в окончательную формулу значения величин, выраженные в СИ, получим силу в ньютонах.

Следует отметить, что числовые значения h и s первого слагаемого можно подставлять в окончательную формулу в любых, но одинаковых единицах (метрах, сантиметрах и т. п.).

Задача 9

10 В настоящее время в учебной литературе для обозначения размерности величины вместо квадратных скобок употребляется термин «dim», что означает размер, измерение.

Пуля массой m = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью v = 400 м/с, попадает в мешок, набитый ватой, массой M = 4 кг, висящий на длинной нити (рис. 18). Найти высоту, на которую поднимается мешок, если пуля застрянет в нем, и долю ее кинетической энергии, которая будет израсходована на пробивание ваты.

Рис. 18

АНАЛИЗ

В результате попадания пули в мешок последний получит некоторую скорость и начнет двигаться влево по дуге радиуса l, где l – длина нити. Вследствие действия силы тяжести скорость мешка будет непрерывно убывать до нуля. Зная начальную скорость мешка u, можно найти высоту его подъема h кинематически, однако ускорение мешка будет функцией угла отклонения α, поэтому решение будет связано с математическими трудностями. Для избежания этого применим к системе мешок-Земля закон сохранения энергии (на мешок, кроме силы тяжести – внутренней силы по отношению к рассматриваемой системе, действует сила натяжения нити, но работа этой силы равна нулю,

так как угол (T,s)= π2 ):

∆Eк + ∆Eп = 0 .				(1)
Здесь
∆E к = −	(M + m)u	2	.	(2)
	2

Знак «минус» показывает, что при подъеме мешка его кинетическая энергия убыва-

ет до нуля; сумма масс берется потому, что пуля застревает в мешке и движется вместе

сним. Несмотря на то, что мешок движется по окружности, можно считать, что все точки его обладают одинаковой скоростью и, так как длина нити велика по сравнению

сразмерами самого мешка. Потенциальная энергия системы возрастает на величину

	∆Eп = (m +M )gh .			(3)
	Подставив выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим
	h =	u2	.	(4)
		2g

Таким образом, задача сводится к нахождению скорости и. Скорость мешка легко может быть найдена из закона сохранения импульса, так как система мешок-пуля замкнута. Действительно, скорость пули и начальная скорость мешка после попадания пули строго горизонтальны. Следовательно, действующие на систему силы-сила тяжести и сила натяжения нити, внешние по отношению к системе силы, во время взаимодействия перпендикулярны скоростям тел и не меняют импульса системы. Это утверждение справедливо в предположении, что время ∆t взаимодействия мешка и нули мало, и поэтому перемещение мешка за время ∆t практически равно нулю.

РЕШЕНИЕ
Применяя закон сохранения импульса, получим
mv = (m +M )u	(5)

(коллинеарность скоростей позволяет записать этот, закон сразу в скалярном виде). Подставляя значение и, полученное из выражения (5), в формулу (4), находим

h = (m2 v2 ) = 5 см. 2g m +M 2

Прежде чем отвечать на второй вопрос задачи, следует рассмотреть кинетическую энергию системы до и сразу после взаимодействия. Учитывая сделанное предположение о кратковременности взаимодействия, изменение потенциальной энергии системы за это время следует считать равным нулю.

До взаимодействия Eк1 системы равнялась Eк пули (мешок неподвижен), значит

	E к1 =	mv2	;	(6)
		2

после взаимодействия

E к2 =		(m +M )u2					.
				2
Подставив в это выражение значение и из уравнения (5), получим
E к2 =	mv2				m			.	(7)
		2			m +M

Доля η кинетической энергии пули, израсходованной на пробивание ваты, может

быть определена на основании выражений (6) и (7) следующим образом:
η =	E к1 − E к2	=1−	m	.	(8)
	Eк1		m +M

Подставив в выражение (8) значения масс, находим

η = 99,75% .

После решения этой задачи следует качественно разобрать случай, когда мешок с ватой заменяют абсолютно упругим телом той же массы М. Вследствие того, что масса груза очень велика по сравнению с массой пули, последняя отскочит со скоростью, близкой к начальной, но противоположного направления, т. е. изменение импульса пули при упругом ударе вдвое больше, чем при неупругом ударе. Поэтому груз М по окончании удара приобретет скорость, вдвое большую, чем скорость и, рассчитанную по выражению (5).

Задача 10

Человек массой m1 = 60 кг прыгает с неподвижной тележки, стоящей на рельсах, вдоль рельс; при этом тележка, масса которой m2 = 30 кг, откатывается в противоположном направлении на расстояние s = 2 м. Зная, что коэффициент трения тележки о рельсы µ = 0,1, найти энергию, затраченную человеком при прыжке.

АНАЛИЗ

Человек, отталкиваясь от тележки при прыжке, сообщает скорость себе самому и тележке; затраченная им энергия превращается в кинетическую энергию тележки и самого человека. При этом предполагаем, что время ∆t взаимодействия человека и тележки настолько мало, что смещением тележки и работой силы трения за время ∆t можно пренебречь. Тогда

∆Eчел = E к(1) + E к(2 ) ,

(1)

где Eк(1) – кинетическая энергия человека в момент отрыва от тележки, Eк(2 ) – кинетиче-

ская энергия тележки в этот же момент времени. По условию задачи тележка откатывается на расстояние s. На этом пути на тележку действуют сила тяжести, сила нормальной реакции земли и сила трения. Первые две взаимно уравновешиваются. Работа силы трения должна равняться изменению кинетической энергии тележки на пути s, т. е.

∆E к(2 ) = −E к(2 ) = Aтр .

(2)

Кинетическая энергия человека может быть найдена из соотношения скоростей человека и тележки, выведенного на основан закона сохранения импульса:

m1v1 − m2 v2 = 0 ,

(3)

где v1 и v2 – скорости человека и тележки относительно Земли после прыжка.

Применение закона сохранения количества движения к системе человек-тележка возможно только в предположении, что сила трения между колесами тележки и рельсами мала по сравнению с силой взаимодействия человека и тележки, возникающей во время прыжка.

РЕШЕНИЕ

Рассмотрим значение работы в уравнении (2):

Aтр = − f тр s , f тр = µP2 .

Подставив эти соотношения в уравнение (2), получим

Eк(2 )

= µm2 gs .

(4)

Из равенства (3) находим, что

v1

=

m2

,

v2

m1

следовательно,

E (1)

=

m v2

=

m

2

,

к

1 1

Eк(2 )

m2 v22

m1

откуда

(1)

(2 )

m2

E

к

= E к

.

(5)

m1

Подставим это выражение и выражение (4) в формулу (1) и произведем вычисления:

			m2
					= 88 Дж .
		+ m
	∆Eчел = µm2 gs 1
		1

§ 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Методика решения задач по вращательному движению принципиально не отличается от методики решения задач поступательного движения. Для составления основного уравнения динамики вращательного движения следует рассматривать отдельно каждое из тел, входящих в систему. Анализ действующих сил должен иметь столь же большой удельный вес, как и при решении задач на поступательное движение.

В задачах этого раздела рассматривается вращение тел вокруг оси (двумерное вращение). В этом случае все векторы, входящие в задачи (угловые скорость и ускорение, моменты сил, моменты импульса), коллинеарны, поэтому для простоты уравнения движении большей частью записываются в скалярной форме.

При прохождении данного раздела на лекциях прочитан уже материал, достаточный по объему, поэтому можно с самого начала использовать как основное уравнение динамики вращательного движений, так и законы сохранения. Условия применимости закона сохранения энергии остаются теми же, что и при поступательном движении.

Закон сохранения моментов импульсов справедлив в тех случаях, когда сумма моментов внешних сил относительно рассматриваемой оси равна нулю.

Сложное плоское движение, например движение катящегося тела, следует рассматривать как сумму двух движении — вращательное вокруг оси, проходящей через центр масс, и поступательное движение со скоростью центра масс. Для решения задачи следует, писать основное уравнение динамики вращательного движения

∑Mi = Iε

и II закон Ньютона

∑Fi = ma ,

где Mi – моменты всех сил, действующих на тело, рассчитанные относительно оси, проходящей через центр масс; I – момент инерции тела относительно той же оси; ε – угловое ускорение; Fi – силы, действующие на тело; m – масса всего тела; а – ускорение центра масс, не зависящее от точек приложении действующих сил. Кинетическая энергия тела в этом случае равна сумме кинетических энергий вращательного и поступательного движений.

Задача 1

Маховик, массу которого m =5 кг можно считать распределенной по ободу радиуса r = 20 см, свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, делая п = 720 об/мин. При торможении маховик полностью останавливается через время ∆t = 20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

АНАЛИЗ

Если пренебречь зависимостью силы трения от скорости, движение маховика можно считать равнозамедленным и основное уравнение динамики может быть записано таким образом:

I∆ω = M∆t ,

(1)

где ∆ω – изменение угловой скорости за время ∆t.

Полное число оборотов N может быть найдено как кинематически, так и из изменения кинетической энергии.

РЕШЕНИЕ

Из условий задачи следует, что

∆ω =ωк −ω0		= −ω0 = −2π n ,	(2)
	I = mr2 .		(3)
Подставив выражения (2) и (3) в равенство (1), получим
	− mr2 2πn = M∆t ,
откуда
M =	−2π n mr2
	∆t	= −0,76 Н м .

Знак «минус» показывает, что вектор момента направлен противоположно вектору угловой скорости.

Проверим размерность полученного выражения в СИ:

dim M = dim r dim F = L MLT 2 = ML2T −2 ,

			2		1	2		1	2 −2
	nmr
	dim			=		ML			= ML T	.
		∆t			T			T

Угловое перемещение, пройденное маховиком до остановки,

ϕ = ω0∆t −	ε(∆t)2	;	(4)
	2

так как

ωк = ω0 − ε∆t ,

выражение (4) может быть преобразовано так:

ϕ = ω02∆t .

Заменяя φ и ω0 соответственно через 2πN и 2πn, где N – искомое число оборотов, которое маховик сделает до полной остановки, окончательно получим

N = n 2∆t =120 об .

Задача 2

Через блок, укрепленный на горизонтальной оси, перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы m1 = 300 г и m2 = 200 г. Масса блока m0 = 300 г. Блок считать однородным диском. Найти линейное ускорение грузов (рис. 19).

АНАЛИЗ

Заданная система состоит из трех тел – грузов m1 и m2 и блока. Каждое из тел системы следует рассматривать отдельно.

Груз m1 находится под действием двух сил: силы тяжести P1 и силы натяжения нити T1. II закон Ньютона для этого груза может быть записан таким образом:

m1a = T1	+ P1 .	(1)
Рассматривая силы, действующие на груз m2, получим
m2a = T2	+ P2 .	(2)

Ускорения грузов, как и в задаче 3 § 2, считаем равными, но направленными в противоположные стороны на основании нерастяжимости нити.

Так как масса блока соизмерима с массой грузов, мы не имеем права предполагать, что силы, с которыми на грузы m1 и m2, равны между собой. Соотношение между силами T1 и T2

y

Рис. 19

может быть получено