МЭИ(ТУ) Физика

§ 2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Основными законами динамики являются II и III законы Ньютона. II закон устанавливает причинную связь между законом движения тела и характером взаимодействия данного тела с другими телами.

Если известен закон движения тела, можно найти результирующую силу, действующую на него. Если известен характер взаимодействия рассматриваемого тела с окружающими телами, т. е. если известны силы, действующие на данное тело, можно найти при заданных начальной скорости и начальных координатах закон движения этого тела.

Применение II закона Ньютона ко всякой конкретной задаче неразрывно связано с применением III закона в силу того, что действие одного тела на другое всегда носит характер взаимодействия.

До тех пор, пока не введено понятие силового поля, следует всегда рассматривать взаимодействие данного тела с другими телами.

Законы сохранения (закон сохранения количества движения и закон сохранения энергии) связывают между собой некоторые параметры (координаты и скорость) движения тела в различных его состояниях. Законы сохранения следует применять в тех случаях, когда вычисления сил либо затруднительны, либо не нужны по условию задачи. В том случае, когда силы, действующие на рассматриваемое тело, оказываются зависящими от времени, закон движения (на основании II и III законов Ньютона) определяется при помощи интегрального исчисления. Применение законов сохранения позволяет обойти математические затруднения и по начальным параметрам движения найти конечные и наоборот. В этом случае законы Ньютона могут быть использованы для качественного анализа. Во многих случаях оба метода равноправны. Вопросы применимости законов сохранения будут разобраны ниже.

Задачи этого параграфа решены в СИ, при этом для перевода величии в единицы этой системы используется табл. 1 Приложения.

При решении задач все данные приводятся к одной системе единиц непосредственно перед подстановкой числовых значений.

Законы Ньютона

Уравнение II закона Ньютона надо применять в отдельности к каждому телу рассматриваемой системы. Особое внимание следует при этом уделить анализу сил взаимодействия данного тела с другими телами. При анализе действующих сил следует рассмотреть их характер (тяготение, упругость, трение), происхождение (в результате взаимодействия с каким телом возникла данная сила), направление. Уравнение II закона следует обязательно писать в векторном виде, а затем переходить к скалярным равенствам, связывающим проекции ускорения и действующих сил на координатные оси, выбранные в зависимости от условий задачи. Эту систему координат, применяемую для решения векторных уравнений, не следует смешивать с системой отсчета, относительно которой рассчитываются скорости и ускорения тела. Это обстоятельство является существенным при решении задач на криволинейное движение, где для решения векторного уравнения, составленного на основании II закона Ньютона, удобно выбирать оси, направления которых не являются постоянными во времени, в то время как скорость и ускорение тела отсчитываются в инерциальной системе отсчёта. В тех случаях, когда тела связаны между собой (нить, стержень и т. п.), перемещения тел не являются независимыми. Следует помнить, что законы Ньютона справедливы только для инерциальных систем. Почти во всех рассматриваемых задачах Землю можно считать инерциальной системой координат, если пренебрегать ее ускорением относительно системы неподвижных звезд. Отсюда вытекает ограничение в выборе систем отсчета: они не должны иметь ускорения относительно Земли2.

Необходимо также рассмотреть применение законов Ньютона к изучению криволинейного движения материальной точки. Прежде всего следует вспомнить основные положения кинематики криволинейного движения. В общем случае, когда меняется не только направление, но и абсолютная величина скорости, имеет место следующее равенство:

ma = ∑F .

Сумма тангенциальных составляющих всех действующих сил создаст тангенци-

альное ускорение (mat = ∑Ft ); сумма нормальных составляющих всех сил создает

2 Движение тел относительно неинерциальных систем рассматривается в § 5.

нормальное ускорение (man = ∑Fn ). Сумму проекций всех сил на направление, нор-

мальное к траектории, т. е. ∑Fn , называют центростремительной силой.

Центробежная сила – это сила, с которой тело, движущееся по окружности, действует на связь. Она приложена к связи, а не к данному телу, поэтому при решении задач эта сила не рассматривается. О центробежной силе инерции нужно говорить только в том случае, если на семинарах подробно разбираются неинерциальные системы.

Задача 1

В движущемся лифте на пружинных весах висит груз массой m = 1 кг (рис. 4). При этом показания весов F = 11 Н. Найти ускорение лифта.

АНАЛИЗ

На груз действуют две силы – сила взаимодействия с Землей (сила тяжести Р), направленная вниз, и сила натяжения F, описывающая взаимодействие тела с пружиной. Сила, с которой тело растягивает пружину, приложена к пружине и направлена вниз. Равная ей сила, с которой пружина тянет груз вверх, приложена к грузу и направлена вверх. Показания весов и есть сила действия пружины на тело.

При установившемся движении груз будет иметь то же ускорение а, что и лифт. Следовательно,

ma = P + F .

(1)

Эти две силы коллинеарны, но противоположны по направлению; так как по условию F > P, то ускоре-

ние направлено вверх.

Рис. 4

РЕШЕНИЕ

Если считать направление вверх положительным, то на основании уравнения (1) напишем скалярное равенство

ma = F − P ,

(2)

откуда

a = F m− P =1,2 м с2 .

После решения задачи надо обязательно разобрать, каким образом при ускоренном

движении лифта вверх натяжение становится больше силы тяжести груза. При неподвижном лифте сила натяжения пружины равна силе тяжести. Когда лифт начинает двигаться вверх, груз еще неподвижен, поэтому увеличивается расстояние между грузом и потолком лифта, пружина растягивается и возрастает сила ее натяжения. Груз приобретает ускорение, направленное вверх. Движение груза относительно лифта будет происходить до тех пор, пока ускорение и скорость груза не сравняются с ускорением и скоростью лифта.

Желательно исследовать уравнение (2):

1)a = 0. Лифт неподвижен или движется равномерно, F = P.

2)a < 0. Лифт движется ускоренно вниз или замедленно вверх, F < P.

3)a = –g. Лифт свободно падает, F = 0. (Знак «минус» означает, что ускорение направлено вниз.)

Задача 2

Два груза равной массы (m1 = m2 = 1 кг), связанные невесомой и нерастяжимой нитью, лежат на идеально гладком столе (рис. 5). К первому телу приложена сила F = 9,8 Н. Найти силу натяжения нити и ускорение грузов. Нить считать все время натянутой.

Рис. 5

АНАЛИЗ

На первое тело действуют следующие силы: сила тяжести P1, сила реакции стола N1 (сила эта возникла в результате взаимодействия первого тела со столом, приложена к телу и направлена вверх), сила F и сила натяжения нити T1. Следовательно, для пер-

вого тела II закон Ньютона будет иметь следующий вид:

m1a1 = P1 + N1 + F + T1 .

(1)

На второе тело действуют силы: сила тяжести P2, сила реакции стола N2 и сила натяжения второго конца нити T2. Для второго тела II закон Ньютона будет иметь следующий вид:

m2a2 = P2 + N2 + T2 .

(2)

Выясним соотношение между силами натяжения нити T1 и T2. Для этого рассмотрим элемент нити ∆l.

Так как нить невесома, то на элемент ∆l действуют только две силы T' и T", и по II закону Ньютона ∆ma = T" – T'; при ∆m = 0 T" = T'. Таким образом, при условии невесомости нити сила натяжения остается постоянной вдоль всей нити, следовательно,

T1 = T2 = T .	(3)
Из условия нерастяжимости нити следует, что ускорения обоих тел равны:
a1 = a2 .	(4)

РЕШЕНИЕ

Если считать направление вправо положительным и учесть условия (3) и (4), то из уравнений (1) и (2) получим

	m1a = F −T ,
	m2a = T ,
откуда
		F		Fm2
a =			; T =			.
	m	+ m		m	+ m
1		2		1	2

Решая в СИ, получим T = 4,9 Н, a = 4,9 м/с2.

Задача 3

Через вращающийся вокруг горизонтальной оси блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы m1 = 0,5 кг и m2 = 0,6 кг (рис. 6а). Найти силу давления блока на ось при движении грузов. Массой блока и трением в оси пренебречь.

Рис. 6

АНАЛИЗ

На каждый из рассматриваемых грузов действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Значит, II закон Ньютона для каждого из грузов может быть записан следующим образом:

m1a1	= P1 + T ,	(1)
m2a2	= P2 + T .	(2)

Нерастяжимость нити позволяет найти соотношение между ускорениями. Из условия нити запишем систему уравнений:

y1 + y2 = const ,

y&1 + y&2 = 0 ,

&y&1 + &y&2 = 0 .

где

&y&1 = a1y ; &y&2 = a2 y .

Следовательно,

a1y = −a2 y ,

(3)

т. е. ускорения грузов равны по абсолютной величине и противоположны по направле-

нию. Невесомость нити позволяет и здесь считать силу натяжения вдоль нити постоянной. Неизменяемость силы натяжения при переходе через блок может быть легко доказана при условии, что массой блока можно пренебречь. Подробно это будет рассмотрено в § 3 «Вращательное движение».

Уравнения (1) и (2) после приведения к скалярной форме с учетом условия (3) позволяют легко найти ускорения грузов и силу натяжения нити. Однако, по условию задачи требуется найти силу давления блока на ось.

На блок действуют силы натяжения нити T' = T и сила реакции N оси (см. рис. 6б). Центр масс блока неподвижен, следовательно, сумма сил равна нулю, т. е. N = 2T. Согласно III закону Ньютона сила реакции N оси равна искомой силе F давления блока на ось.

РЕШЕНИЕ

Выберем положительное направление вертикально вверх (по движению первого груза). Тогда уравнения (1) и (2) с учетом равенства (3) можно переписать в скалярном виде:

m1a =T −P1,	(4)
− m2 a = −P2 +T .

Решая совместно уравнения (4), получим

T= 2m1m2 g . m1 + m2

Следовательно, сила реакции оси

N= 4m1m2 g =10,7 Н . m1 + m2

Необходимо отметить, что полученное значение силы натяжения нити лежит в пределах

P1 <T < P2 ,

а сила давления блока на ось меньше суммарной силы тяжести обоих грузов. В случае m1 = m2 грузы будут находиться в состоянии покоя или равномерного движения, и тогда сила давлении блока на ось будет равна сумме сил тяжести обоих грузов.

Задача 4

В вагоне, движущемся горизонтально с ускорением a = 2 м/с2, висит на шнуре груз массой m = 200 г (рис. 7). Найти силу натяжения шнура и угол α отклонения шнура от вертикали.

Рис. 7

АНАЛИЗ

Независимо от состояния вагона (покой или движение) на груз будут действовать только две силы: сила тяжести и сила натяжения шнура. В покоящемся вагоне (или при его движении с постоянной скоростью) обе силы будут коллинеарны и их векторная сумма будет равна нулю. При движении вагона с ускорением шнур отклонится от вертикали в сторону, противоположную движению, и обе действующие на груз силы должны сообщить грузу относительно Земли ускорение, равное ускорению вагона. Правильнее было бы говорить, что не груз будет отклоняться влево, а вагон; следовательно, и точки прикрепления шнура к вагону будут уходить «из-под» груза3. Так как вагон движется по отношению к Земле с ускорением, систему координат, относительно которой рассматривается движение груза, нельзя связывать с вагоном. В системе координат, жестко связанной с Землей, II закон Ньютона имеет вид

ma = P + T ,

(1)

где а – ускорение груза относительно Земли.

3 В начале движения вагона с ускорением груз будет совершать колебания. Мы рассматриваем груз в тот момент, когда колебания затухнут, т. е. когда ускорение груза равно ускорению вагона. Нить при этом оказывается отклоненной от вертикали.

РЕШЕНИЕ

Заменяя уравнение (1) двумя скалярными равенствами, связывающими между собой проекции сил и ускорения на оси х и у, выбранные, как показано на рис. 7, получим

ma = T sin α ,	(2)
0 = T cosα − P .	(3)

При совместном решении этих двух уравнений вычислим

α = arctg ag = arctg 0,204 =11,5°,

T = m a2 + g2 = 2 Н .

Задача 5

На тележке массой M = 20 кг, которая может свободно перемещаться вдоль рельс, лежит доска массой m = 4 кг. Коэффициент трения между доской и тележкой µ = 0,2. Доску тянут с силой F, направленной горизонтально (рис. 8). Найти ускорение доски и силу трения между доской и тележкой в двух случаях, если: 1) F = 5,9 Н; 2) F = 19,6 Н.

fтр′

Рис. 8

АНАЛИЗ

В этой задаче впервые в рассмотрение входит сила трения. Сила трения, действующая на доску, будет направлена в сторону, противоположную её относительной скорости, и равна произведению µN, где N – сила нормальной реакции, действующая со стороны доски на тележку. В данном случае N = mg.

Если относительная скорость доски (скорость доски относительно тележки) равна нулю, то сила трения (т. е. сила трения покоя) будет направлена в сторону, противоположную возможному движению доски, т. е. в сторону, противоположную той, куда двигалась бы доска, если бы не было силы трения покоя. При этом модуль силы трения

покоя может принимать любое значение от 0 до µN, т. е. f тр ≤ µN 4. В этом случае ус-

корения доски и тележки равны друг другу. Если приложенная к доске сила F будет больше некоторого определенного значения, доска начнет двигаться относительно тележки, сила трения примет максимальное значение

f тр = µmg .

Для того чтобы ответить на вопросы, поставленные в задаче, надо выяснить, как будет происходить движение системы – будет ли двигаться доска относительно тележки или нет. Так как начальные скорости обоих тел равны нулю, задача сводится к нахождению условий, при которых относительное ускорение а доски равно нулю. При этом надо помнить, что относительное ускорение может быть направлено только в сторону приложенной силы5 F.

РЕШЕНИЕ

Коллинеарность сил, приложенных к доске (сила тяжести уравновешивается силой нормальной реакции), позволяет писать II закон Ньютона для доски сразу в скалярной форме. Это относится и к тележке, так как последняя получает ускорение только под действием силы трения. Сила трения, приложенная к доске, направлена в сторону, противоположную силе F; сила трения, действующая на тележку со стороны доски, направлена в сторону возможного движения доски.

Выбрав за положительное направление направление действия силы F, будем иметь такую систему уравнений:

ma		= F − f			,
1					тр	(1)
Ma		= f		.
	2		тр

Здесь т – масса доски, a1 – ускорение доски относительно системы координат, жестко связанной с Землей, М – масса тележки, a2 – ускорение тележки.

Ускорение доски можно записать следующим образом:

a1 = a2 + a′ ,

(2)

1 Здесь, как и в дальнейшем, мы пренебрегаем зависимостью силы трения скольжения от скорости и считаем, что максимальное значение силы трения покоя равно силе трения скольжения.

5 Сила трения не может изменить направление движения тела на противоположное.