9.1.Пересечение гранных поверхностей проецирующими плоскостями

Для определения фигуры сечения, достаточно найти точки пересечения ребер и граней тела с данной плоскостью. Из чертежа видны все построения точек сечения пирамиды проецирующей плоскостью, определение натуральной величины фигуры сечения и ребер пирамиды для построения развертки.

9.2.Пересечение тел вращения проецирующей плоскостью

Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью

На чертеже показано построение сечения, определение натуральной величины эллипса и развертки усеченной части цилиндра.

Пересечение конической поверхности плоскостью.Построение развертки

Для получения сечения большую ось эллипса 1-2 делим пополам, проводим через эту точку вспомогательную секущую плоскость и находим положение малой оси эллипса 3-4.

Дальнейшее построение натуральной величины сечения и развертки усеченной части ясно из чертежа.

9.3.Кривые второго порядка

Рассмотрим так называемые конические сечения –кривые второго порядка (окружность, эллипс, парабола и гипербола), широко применяемые в науке и технике.

Без доказательств приводим чертежи и следующие положения:

1. Если пересечь прямой круговой конус плоскостью, параллельной его основанию, – в сечении получим окружность (= 90⁰).

2. Если пересечь конус плоскостью, не параллельной ни одной из его образующих – в сечении получим эллипс (>).

3. Если пересечь конус плоскостью, параллельной одной из его образующих, – в сечении получим параболу (=).

4. Если пересечь конус плоскостью,параллельной двум его образующим (в частном cлучае параллельно его оси),– в сечении получим гиперболу (<).

При пересечении тел плоскостями общего положения решение намного упрощается, если путем преобразования чертежа перейти к новому изображению, когда плоскость становится проецирующей.

Лекция 11.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНО-

СТЯМИ.ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Для построения точек пересечения прямой с какой–либо поверхностью следует:

1. провести через прямую вспомогательную (проецирующую) плоскость;

2. найти сечение поверхности плоскостью;

3. определить точки пересечения прямой с контуром сечения (точки входа и выхода);

4. определить видимость прямой.

При решении последней задачи для определения вспомогательного сечения лучше всего преобразовать чертеж так, чтобы в сечении получалась окружность, с помощью которой и находятся искомые точки входа (N) и выхода (М).

При решении задач на определение линий пересечения гранных поверхностей следует определить:

1. точки пересечения ребер первой поверхности с гранями второй;

2. точки пересечения ребер второй поверхности с гранями первой;

3. видимость точек и соединить их прямыми согласно видимости и положению точек на гранях тела.

В первом примере легко определяются точки пресечения ребер пирамиды с гранями призмы, т.к. последние являются проецирующими плоскостями. Из ребер призмы с гранями пирамиды пересекается только ребро D.

Заключив его в горизонтально проецирующую плоскость Q, проходящую и через вершину S, получим в сечении треугольник SKN, на границах которого и лежат точки 7 и 8.

Во втором примере достаточно провести секущие плоскости R и Т и определить точки встречи ребер призмы с вспомогательными сечениями (точки 3 и 4; 2 и 5).

Попутно легко определяются и точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы (точки 6 и 8; 1 и 9).

Лекция 12. ПЕРСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Способ секущих плоскостей

При решении задач на определение линий пересечения поверхностей вращения следует:

ввести вспомогательную проецирующую плоскость, пересекающую оба тела и дающую «удобные» сечения каждой из поверхностей;

найти общие точки сечений;

с учетом видимости точек провести линию пересечения этих поверхностей.

В первом примере использованы фронтальные плоскости проекций,«дающие» в сечении шара окружности и в сечении цилиндра – прямоугольники. Определены левая и правая крайние точки (7 и 3), передняя и задняя (5 и 1) и низшая и высшая (4 и 8).

Во втором примере использованы горизонтальные плоскости проекций, «дающие» в сечении конуса окружности и в сечении цилиндра– прямоугольники. Построение линии пересечения ясно из чертежа.

Способ сфер

Способ сфер применяется при построении линии пересечения поверхностей вращения при условии, что оси поверхностей пересекаются и параллельны одной из плоскостей проекций. В основу способа положено свойство сферы пересекать поверхность по окружности, когда сфера имеет свой центр, расположенный на оси поверхности вращения. Линия пересечения поверхностей будет изображаться на одной из плоскостей проекций в виде прямой, перпендикулярной к оси вращения тел.

В данном примере для определения линии пересечения конуса с цилиндром использованы две концентрические сферы, с помощью которых и определены общие точки, принадлежащие поверхностям вращения.

В частных случаях, когда два тела вращения описаны около одной сферической поверхности, пересечение происходит по двум плоским кривым – эллипсам, проецирующимся на заданную плоскость в виде прямых.

Лекции 13,14.ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ВЫРЕЗАМИ

Решение задач на построение тел с вырезами сводится к определению линий пересечения геометрических тел проецирующими плоскостями и хорошо развивает пространственное воображение.

Решение задачи с шаром ясно из чертежа. Плоскости N и Т позволяют легко найти точки 7-К и 5-5, определяющие оси эллипса, в который проецируется «наклонная» окружность от секущей плоскости N.

Решение задачи с пирамидой легко понять из чертежа.

В нижеследующих примерах представлены тела с вырезами, линии, пересечения которых представляют собой кривые второго порядка. Контрольные точки этих сечений (А, В, С, К) хотя и лежат за пределами выреза, хорошо помогают выявлению характера кривых.

Лекции 15, 16. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Слово аксонометрия в переводе с греческого – измерение по осям. Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к системе координат и затем проецируют параллельными лучами на плоскость вместе с координатной системой.

Р – аксонометрическая (картинная) плоскость проекций. Аксонометрическая проекция А и ее вторичная проекция А₁определяют положение точки в пространстве.

Искажение отрезков осей координат при их проецировании на плоскость Р характеризуется показателями искажения. Показателем искажения называется отношение длины проекций отрезка оси на картине к его истинной длине.

Показатели искажения по отдельным осям:

I ₌ OX _; I ₌ OY I ₌ OZ

По оси ОХ S O₁X₁ по оси ОYtO₁Y₁ по оси OZ U O₁Z₁

В зависимости от соотношения показателей искажения аксонометрические проекции могут быть:

1. Изометрическими – если показатели искажения по всем трем осям равны между собой

2. Диметрическими – по двум осям равны, а третий отличается от первых двух

3. Триметрическими – все три показателя различны.

Аксонометрические проекции отличаются по тому углу , который образует проецирующий луч с плоскостью проекций Р:

при = 90⁰– прямоугольная аксонометрия;

при 90⁰– косоугольная аксонометрия.

Из бесчисленного множества аксонометрических изображений ГОСТ рекомендует следующие:

Прямоугольная изометрия

Углы между осями 120⁰и коэффициент искажения,т.е. все размеры при проецировании сокращены в 0,82 раза.

ГОСТ рекомендует к применению увеличенную аксонометрию.

Теоретическая Практическая

(нормальная) ( увеличенная)

Прямоугольная диметрия

Теоретическая Практическая

(нормальная) (увеличенная)

Косоугольная (фронтальная) диметрия

Окружность в прямоугольной изометрии

На чертеже в увеличенной изометрии представлена окружность 30 мм, плоскости которой параллельны соответствующим плоскостям проекций П₁, П₂, П₃.

Окружность в прямоугольной диметрии

На чертеже в увеличенной диметрии представлена окружность 30 мм, плоскости которой параллельны соответствующим плоскостям проекции П₁, П₂, П₃.

Для примера представлена фигура в практической изометрии с вырезами для усиления объемности изображения.

Учебное издание