14.3. Дифференциальные уравнения движения механической системы

Для каждой материальной точки, входящей в систему, на основе второго закона динамики можно записать следующие ОУД:

(3.93)

где – равнодействующая всех внешних сил, приложенных к первой точке;

–равнодействующая всех внутренних сил, приложенных к первой точке.

Уравнения (3.93) называются дифференциальными уравнениями движения механической системы.

В общем случае для инженерных задач система дифференциальных уравнений (3.93) является нелинейной и ее аналитическое решение практически невозможно. Исследование таких систем выполняется численными методами с помощью ЭВМ.

Глава 15. Общие теоремы динамики механической системы

Во многих реальных задачах нет необходимости изучать движение всех материальных точек системы, а достаточно знать некоторые ее обобщенные характеристики. Методы решения таких задач и будут изложены ниже.

15.1. Теорема о движении центра масс механической системы

Для определения характеристик движения центра масс системы перепишем уравнение для его определения (3.83) в следующем виде.

.

(3.94)

Вычислим вторую производную от выражения (3.94):

.

(3.95)

Для выяснения физического смысла правой части уравнения (3.95) просуммируем почленно все уравнения (3.93), составленные для материальных точек системы.

.

(3.96)

Решая совместно (3.95) и (3.96) и принимая во внимание, что сумма внутренних сил системы равна нулю, получим окончательно

.

(3.97)

Уравнение (3.97) выражает следующую теорему: центр масс механической системы движется как материальная точка, наделенная массой всей системы, в предположении, что все внешние силы приложены в центре масс системы.

На рис.3.29 слева показана реальная схема сил, действующих на колесо при его качении, а справа – расчетная схема, на основе которой пользуясь доказанной теоремой, можно определить скорость точкиC(центра масс колеса).

При решении реальных задач уравнение (3.97) необходимо спроектировать на оси координат:

, , .

(3.98)

Анализ уравнений (3.97) и (3.98):

1) Из уравнения (3.97) следует, что, если

то.

(3.99)

2) Из уравнений (3.98) следует, что если на какую-нибудь ось внешние силы проецируются в ноль, то вдоль этой оси центр масс движется с постоянной скоростью, например, если

, то.

(3.100)

Случаи движения механической системы при условии выполнения (3.99) или (3.100) выражают закон сохранения движения центра масс системы: если сумма внешних сил системы равна нулю, то центр ее масс движется с постоянной по величине и направлению скоростью (или покоится).

Другими словами, скорость центра масс системы нельзя изменить действием внутренних сил системы.

Этот закон имеет исключительно важное значение для понимания существа причин, вызывающих движение тел не только в технике и в природе, но и во всей Вселенной.

В частности, внутренние силы, возникающие в двигателе автомобиля при сгорании топлива, не могут вызвать его движение до тех пор, пока не появится внешняя сила – сила трения между колесом и полотном дороги (рис. 3.30а).

Аналогично, человек перемещается не под действием мышечных усилий (внутренних сил), а исключительно благодаря силе трения , возникающей между подошвой и полотном дороги (рис. 3.30б). Давление ноги человекана дорогу можно разложить на две силы:и. Разность сил () является движущей силой для человека. Если(например, на льду), то при стремлении человека сделать широкий шаг его опорная нога скользнет под действием силыназад.