15.2. Теорема об изменении количества движения системы

Количеством движения системы называется геометрическая сумма количеств движения всех материальных точек системы.

.

(3.101)

Выясним физический смысл количества движения системы. Для этого вычислим векторную производную от выражения (3.84):

.

(3.102)

Решая совместно (3.101) и (3.102) получим

.

(3.103)

Таким образом, вектор количества движения системы определяется произведением массы системы на скорость ее центра масс.

Вычислим векторную производную от выражения (3.103)

.

(3.104)

Решая совместно (3.104) и (3.97) получим:

.

(3.105)

Уравнение (3.105) выражает следующую теорему: производная по времени от вектора количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил системы. При решении задач уравнение (3.105) необходимо спроецировать на оси координат:

, ,.

(3.106)

Из анализа (3.105), (3.106) вытекает следующий закон сохранения движения системы: если сумма внешних сил системы равна нулю, то вектор количества движения ее сохраняет свою величину и направление

, .

(3.107)

В частном случае этот закон может выполняться вдоль какой-нибудь одной оси, например:

.

(3.108)

Доказанная теорема и сформулированный закон аналогичны теореме о движении центра масс системы, однако теорему об изменении количества движения системы целесообразно использовать в тех случаях, когда в систему входят жидкие или газообразные тела.

15.3. Теорема об изменении главного момента количеств движения механической системы

Для характеристики вращательного движения введем понятие главного момента количества движения системы относительно заданного центра (кинетический момент системы).

Кинетическим моментом системы относительно данного центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех его точек относительно того же центра

, .

(3.110)

Проектируя (3.110) на оси координат, можно получить выражения кинетического момента данной системы относительно координатных осей:

, , .

(3.111)

По аналогии с моментом силы для момента количества движения можно записать

.

(3.112)

Проецируя (3.112) на оси координат уравненя (3.111) можно переписать в таком виде:

Выясним физический смысл кинетического момента относительно оси. Пусть тело Д вращается относительно оси 0z (рис. 3.32).

Найдем кинетический момент относительно оси вращения

Для произвольной точки К, отстоящей от оси вращения на расстоянии r_k, имеем:

,

,

тогда

.

Записывая подобные выражения для всех точек тела и суммируя их, получим

,

.

(3.113)

Таким образом, кинетический момент тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Из (3.113) следует, что кинетический момент системы характеризует только вращательную составляющую ее движения.

Следовательно, для того, чтобы охарактеризовать движение системы полностью, необходимо вычислить для нее как количество движения, так и кинетический момент.

Очевидно, кинетический момент, характеризующий вращательную составляющую движения, является следствием действия причин, вызывающих это движение.

Как известно из статики для оценки вращательного движения необходимо вычислить момент, действующий на тело относительно оси вращения. Для установления такой зависимости воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента каждой точки относительно центра 0

.

(3.114)

Записывая уравнение (3.114) для всех точек системы и суммируя их, получим:

Так как сумма моментов внутренних сил относительно любого центра равно нулю, то окончательно имеем

.

(3.115)

Уравнение (3.115) выражает следующую теорему: производная по времени от вектора кинетического момента системы относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Для решения задач уравнение (3.115) необходимо спроектировать на оси координат, получим:

, , .

(3.116)

Из анализа уравнений (3.115), (3.116) вытекает следующий закон сохранения кинетического момента системы: если сумма моментов всех внешних сил относительно центра (или оси) равна нулю, то кинетический момент системы относительно центра (или оси) сохраняет свою величину и направление, т.е.

если , то, если , то.

(3.117)

Другими словами, кинетический момент системы нельзя изменить действием внутренних сил системы. Однако, из (3.113) вытекает, что угловую скорость системы можно изменить, если действием внутренних сил системы изменить соответствующий момент инерции. Такую возможность можно проиллюстрировать на примере балерины (рис. 3.33). При выполнении элементов танца партнер сообщает ей некоторую угловую скорость в тот момент, когда она вытянула руки в стороны, при этом момент инерции ее относительно оси вращения равен. Так как момент внешних силиотносительно осиzравен нулю, то при опускании рук и уменьшении момента инерции до величины, должно сохраняться равенствоили. Следовательно угловая скорость балерины увеличится до.

Закон сохранения кинетического момента широко используется в технике, в частности в гироскопах.