15.4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Определение: Кинетической энергией механической системы называется арифметическая сумма кинетических энергий всех ее материальных точек

.

(3.118)

Определение кинетической энергии твердого тела

1. Поступательное движение твердого тела.

Как известно, в этом случае все скорости тела в один и тот же момент времени одинаковы. Поэтому уравнение (3.118) можно переписать в следующем виде:

.

(3.119)

Таким образом, при поступательном движении тела его кинетическая энергия вычисляется как произведение массы тела на половину квадрата скорости центра масс тела.

2. Вращательное движение твердого тела.

Пусть некоторое тело совершает вращательное движение относительно оси OZ (3.34). Вычислим кинетическую энергию произвольной точки К, отстоящей от оси вращения на расстоянии :

.

(3.120)

Записывая подобные выражения для всех точек тела, на основе (3.118) получим:

(3.121)

Следовательно, при вращательном движении тела его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. Плоское движение тела.

Как известно, плоское движение тела можно представить как вращательное, происходящее относительно МЦС. Пусть для некоторого тела точки CиPявляются соответственно, центром масс и МЦС (рис. 3.35). Тогда

,

(3.122)

где J_p– момент инерции тела относительно МЦС.

Представим момент инерции тела относительно МЦС по теореме Гюйгенса как сумму

.

(3.123)

Решим совместно (3.121) и (3.122):

.

Так как , то окончательно имеем

.

(3.124)

Таким образом, при плоском движении тела его кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии от поступательного движения тела вместе с центром масс и его кинетической энергии от вращения вокруг центра масс.

По аналогии с изложенным можно вычислить кинетическую энергию тела при любом его движении.

Для каждой точки механической системы можно записать теорему об изменении кинетической энергии в следующем виде:

,

(3.125)

где - работа всех внешних сил, приложенных в точке К;

- работа всех внутренних сил приложенных к точке.

Составляя уравнения (3.125) для всех точек системы и суммируя их, получим:

.

(3.126)

Уравнение (3.125) выражает следующую теорему: изменение кинетической энергии системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил системы на том же перемещении.

Выводы:

1. В отличие от теорем об изменении количества движения и кинетического момента системы, данная теорема учитывает действие внутренних сил системы.

2. В отличие от упомянутых теорем данная теорема позволяет исследовать любой вид движения.

Вычисление работы различных сил

Работа внутренних сил абсолютно твердого тела

Рассмотрим твердое тело. Пусть известны скорости точек A и B и внутренние силы и, с которыми эти точки взаимодейтсвуют (рис. 3.36).

На основе теоремы о проекциях скоростей двух точек тела можно записать:

,

(3.127)

Вычислим сумму работ внутренних сил:

.

(3.128)

По третьему закону динамики . Следовательно. Полученный результат можно обобщить на все точки тела.

Если взаимодействия между какими-нибудь телами системы осуществляется посредством гибких, нерастяжимых нитей, то сумма работ сил натяжений для системы равна нулю.

Таким образом, сумма работ внутренних сил абсолютно твердого (недеформируемого) тела всегда равна нулю.

1. Работа момента внешних сил

Некоторое тело вращается под действием момента внешних сил (рис. 3.37). Заменим этот момент силой. Тогда элементарная работа силы

.

Таким образом, в общем случае элементарная работа момента внешних сил равна произведению момента на элементарный угол поворота:

. Полная работа .

(3.129)

В том случае, когда действующий на тело момент постоянен по величине, его работа вычисляется как произведение момента на угол поворота

.

(3.130)