2.3.1. Корневой критерий устойчивости

Классический метод решения уравнения (1.2.8) заключается в получении аналитического выражения общего интеграла уравнения, который определяется суммой

Y(t) = Y_вын + Y_св(t), (9)

где Y(t) - общее решение, дающее переходной процесс выходной величины в функции времени;

Y_вын - частное решение уравнения, определяющее вынужденное (установившееся) движение для производных равных нулю;

Y_св(t) - решение левой части уравнения (1.2.8), приравненное нулю (характеризует свободное движение).

В частном случае, когда корни характеристического уравнения _i вещественные для характеристического уравнения

, (10)

получим

, (11)

где C_i - постоянные интегрирования, _i - корни характеристического уравнения (10).

Если корни _i мнимые, то в решении (11) будут и гармонические составляющие, т.е. будет происходить колебательный процесс.

Считают, что САУ устойчива, если свободная составляющая будет затухать, т.е.

(12)

Решение характеристического уравнения зависит от его корней, которые в общем виде могут быть комплексными_i =_i j_i.

Пара мнимых корней (α_i=0 ) характеристического уравнения позволяет получить переходную составляющую в виде автоколебаний с постоянной амплитудой:

Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости (рис.6.).

Рассмотрим лишь две составляющие процесса от пары сопряженных комплексных корней

Y_св(t)=c_ie^{(i+ji)t}+c_i+1e^{(i-ji)t}=, (13)

где c_i, c_i+1, -постоянные коэффициенты;

_i - частота колебаний;

_i - коэффициент затухания;

_i - фаза колебаний.

Анализ (13) показывает, что это синусоида с амплитудой, изменяющейся по экспоненте.Поэтому, если:

1) _i<0, e^itуменьшается при t,колебание затухает и САУ устойчива(рис.1.6.1,а,б);

2) _i>0, e^itувеличивается при t, колебание увеличивается и САУ неустойчивая (рис.1.6.1,д);

3) _i=0- незатухающие колебания и САУ на границе устойчивости (рис.1.6.1,а);

4) _i =0 - процесс апериодический (рис.1.6.1,в).

Результаты анализа и виды устойчивости показаны на рис.1.6.1.

Рис.6. Переходные процессы устойчивых (а,б,в) и неустойчивых (г,д) САУ

Итак, условием затухания переходных процессов и устойчивости САУ является отрицательность вещественной части корней

_i<0 в _i=_i  j(14)

Если корни рассмотреть на комплексной плоскости (рис.7), то необходимым и достаточным условием устойчивости будет расположение корней в левой полуплоскости. Это классический критерий устойчивости.

Рис. 7. Коневой критерий устойчивости

2.3.2. Алгебраический критерий устойчивости

Вычисление корней характеристического уравнения затруднено. Поэтому были выведены критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления корней.

Характеристическое уравнение (10) можно представить в виде сомножителей

a₀(-₁)(-₂)...(-_i)...(-_n)=0, (15)

где_i -корни характеристического уравнения.

Для устойчивости системы_i<0, т.е. _i =-_i.

При этом получим

a₁(+₁)(+₂)...(+_n)=0. (16)

При перемножении членов уравнения (16) коэффициенты передв алгебраическом уравнении вида (10) будут положительными:

a₀>0; a₁>0;...a_n>0.Для случая с комплексными корнями это условие выполняется только для уравнений 2-го порядка.

Для САУ, описываемой уравнением 1 и 2 порядка, алгебраическим критерием устойчивости является положительность всех коэффициентов уравнения a_i>0. Для других САУ это условие является необходимым.