2.3.3. Критерий устойчивости Гурвица

Алгебраический критерий устойчивости работает только на САУ 1 и 2-го порядка. Для САУ более высокого порядка применяется критерий устойчивости Гурвица.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными главные определители Гурвица, составленные из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения.

Правило составления определителей Гурвица следующее:

1. По диагонали матрицы от левого верхнего угла до правого нижнего угла записываются все коэффициенты характеристического уравнения САУ от a₁ до a_n.

2. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше n, на месте его пишется нуль.

3. Из матрицы выбираются диагональные миноры и они являются определителями Гурвица.

a1	a3	a5	.	. .	0	0
a0	a2	a4	.	. .	0	0
0	a1	a3	.	. .	0	0
0	a0	a2	.	. .	0	0
. .	. .	. .	.	. .	.	.
. 0	0	0	.	. .	an-1	0
0	0	0	.	. .	an-2	an

Указанные определители Гурвица имеют вид:

. (17)

Диагональные миноры получаются из i-ой строки и i-го столбца. Для системы третьего порядка условие устойчивости сводится к выполнению неравенства:

. (18)

Устойчивость зависит только от коэффициента усиления К_раз САР, по­этому можно сделать вывод: с ростом К_раз устойчивость САР уменьшается. Для неустойчивой системы по критерию Гурвица можно найти критический К_раз, при котором система выходит на границу устойчивости по следующей схеме:

1. Коэффициент усиления К_раз входит в характеристическое уравнение как n-й коэффициент: для статической системы a_n = К_раз + 1, для астатической - a_n = К_раз.

Согласно (18) критическое значение:

(19)

и значение критического коэффициента усиления К_{раз кр} = a_nкр.

Рассмотрим пример. Определить устойчивость замкнутой системы с передаточной функцией разомкнутой системы:

.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет третий порядок

1+W(P)=0, T₁T₂P³+(T₁+T₂)P²+P+K=a₀P³+a₁P²+a₂P+a₃=0. (18)

Определитель Гурвица будет иметь вид:

(18)

или

. (19).

Для K=80, T₁=0,12c, T₂=0,05c условие (18) не выполняется - система неустойчива. Для данных T₁ и T₂ система устойчива при K=K_кр=28.

2.3.4. Критерий устойчивости Михайлова

Применение критерия устойчивости Гурвица для систем с характеристическим уравнением выше 4-го порядка затруднено.

Частотный критерий устойчивости А.М.Михайлова позволяет судить об устойчивости систем любого порядка по виду ее характеристического вектора (годографа) на комплексной плоскости. Годограф Михайлова получают подстановкойP=jв характеристический полином характеристического уравнения и построением кривой в координатахU() и jV()при изменении от 0 до .

- вещественная частотная характеристика (ВЧХ);

- мнимая частотная характеристика

(МЧХ).

Точки пересечения годографа Михайлова с координатными осями опре­деляются корнями ВЧХ и МЧХ и , причем четные корни (и₀,и₂,и₄,...) соответствуют точкам пересечения с осью Re, а нечет­ные ( и₁,и₃,...) - точкам пересечения с осью jJm.

С помощью годографа Михайлова можно наглядно оценить влияние па­раметров системы на устойчивость. Примерный вид годографа Михайлова для устойчивой системы 3-го порядка показан на рис. 8.

Рис. 8. Годограф Михайлова для системы 3-го порядка:

а - годограф системы на границе устойчивости;

б - годограф для устойчивой системы

Коэффициент a_n зависит от коэффициента усиления системы. Если уве­личить коэффициент усиления, то будет увеличиваться a_n. Все векторы Ф^'и) получат одинаковое положительное приращение, и годограф Михай­лова без деформации передвинется вправо, например, в положение, отме­ченное пунктирной линией на рис. 8. При дальнейшем увеличении коэффи­циентов усиления система становится неустойчивой, следовательно, отрезок OA= К_{раз кр}, и отсюда можно найти значение предельного коэффициента усиления.

5. Критерий устойчивости Найквиста

Вторым частотным критерием является критерий Найквиста, который позволяет судить об устойчивости только замкнутых систем по амплитудно-фазовой характеристике (АФХ) разомкнутой системы.

Замкнутая система устойчива, если устойчива разомкнутая САР и ее АФХ не охватывает точки с координатами (—1, j0).

АФХ разомкнутой системы - это годограф вектора комплексной переда­точной функции разомкнутой системы в комплексной плоскости при изме­нении частоты  от 0 до . Комплексная передаточная функция получа­ется из передаточной функции разомкнутой системы заменой оператора р на оператор ju

. (20)

С помощью АФХ разомкнутой системы можно судить не только об устой­чивости системы, но и о показателях устойчивости замкнутой системы, а именно, запасе устойчивости по фазе и амплитуде. АФХ разомкнутой си­стемы показана на рис. 9.

Если все векторы К (ju) увеличить в m раз, то АФХ пройдет через точку A (пунктирная кривая). Из этого очевидно, что запас устойчивости по модулю определяется как

, (21)

так как АО=1. Для нормальной работы системы запас устойчивости по амплитуде должен составлять m=10-15 дБ. Запас устойчивости по фа­зе в определяется как угол между

Рис.9. АФХ разомкнутой системы

вещественной отрицательной полуосью и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения АФХ с единичной окружностью. Значение угла в показывает, на сколько долж­но увеличиться отставание сигнала по фазе в разомкнутой системе, чтобы замкнутая САР вышла на границу устойчивости. Обычно запас устойчи­вости по фазе должен составлять в — 30... 45o. Устойчивость замкнутой САР является необходимым, но недостаточным условием обеспечения рабо­тоспособности замкнутой САР.