Решение

В данной задаче варьирующим признаком является время простоя автомобиля под разгрузкой. Общая дисперсия времени простоя под разгрузкой определяется по формуле

Для расчета общей дисперсии составляется дискретный ряд распределения, промежуточные расчеты помещены в табл. 3.

Таблица 3.

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Время простоя под разгрузкой, мин., х	Число выполненных разгрузок, f	xf
8	3	24	-4	16	48
10	2	20	-2	4	8
12	2	24	0	0	0
15	1	15	3	9	9
18	1	18	6	36	36
19	1	19	7	49	49
Итого	10	120	-	-	150

- среднее время простоя.

- общая дисперсия.

Величина этой дисперсии характеризует вариацию времени простоя под разгрузкой под влиянием всех условий. Различия в величине изучаемого признака прежде всего возникают под влиянием числа грузчиков, принимающих участие в процессе разгрузки. В связи с этим в совокупности выделяются две однородные группы по числу грузчиков: в первую группу включаются наблюдения при числе грузчиков 3; во вторую группу попадают наблюдения при числе грузчиков 4. Для каждой из выделенных групп определяется внутригрупповая дисперсия, возникающая под влиянием неучтенных факторов. Для их расчета использованы вспомогательные табл. 4 и 5.

Таблица 4

Расчет внутригрупповой дисперсии по первой группе

(число грузчиков, участвующих в разгрузке, - 3)

Время простоя под разгрузкой, (мин.), х	Число выполненных разгрузок, f	xf
12	1	12	-4	16
15	1	15	-1	1
18	1	18	2	4
19	1	19	3	9
Итого	4	64	-	30

Средняя из внутригрупповых дисперсий

Межгрупповая дисперсия, отражающая различия в величине признака под влиянием фактора, положенного в основу группировки, определяется по формуле:

Общая дисперсия () равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:

=4,3+10,7=15,0,

что и соответствует полученной ранее величине.

Таблица 5

Расчет внутригрупповой дисперсии по второй группе

(число грузчиков, участвующих в разгрузке, - 4)

Время простоя под разгрузкой, (мин.), х	Число выполненных разгрузок, f	Xf
8	3	24	-1,33	5,31
10	2	20	0,67	0,90
12	1	12	2,67	7,13
Итого	6	56	-	13,37

4. Имеются следующие данные о результатах обследования рабочих предприятия по размеру месячной заработной платы:

Группы рабочих по возрасту, лет	Число рабочих	Дисперсия заработной платы
До 20	100	300
20-30	120	400
30 и старше	150	500

Общая дисперсия заработной платы в обследованной совокупности рабочих составила 450.

Определить, в какой степени вариация заработной платы рабочих предприятия зависит от возраста.

Решение

Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию под влиянием неучтенных факторов:

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию под влиянием фактора, положенного в основу группировки (возраста рабочих).

Межгрупповая дисперсия определяется по правилу сложения дисперсий:

Отсюда соотношение дисперсий

или 8,0%.

Полученный результат показывает, что возраст на варьирование заработной платы рабочих предприятия не оказывает существенного влияния.

5. Удельный вес основных рабочих в трех цехах предприятия составил: 80, 75 и 90% общей численности рабочих. Определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение доли основных рабочих по предприятию в целом, если численность всех рабочих трех цехов составила соответственно 100, 200 и 150 человек.

Решение

Рабочие предприятия подразделяются на две группы: основные и ремонтно-вспомогательные рабочие.

Общая численность основных рабочих по предприятию в целом составит:

= 0,8 • 100 + 0,75 • 200 + 0,9 • 150 = 365 человек.

Доля основных рабочих по предприятию

Дисперсия альтернативного признака

² = р  q,

Где р ‑ доля единиц, обладающих данным признаком (доля основных рабочих);

q ‑ Доля единиц, не обладающих данным признаком (доля ремонтно-вспомогательных рабочих).

Поскольку р + q = 1, следовательно, q = 1 - р и формула дисперсии имеет вид:

² = р-(1 - p) = 0,811 - (1 - 0,811) = 0,1533.

Среднее квадратическое отклонение доли основных рабочих по предприятию в целом:

6. Дисперсия признака равна 600. Объем совокупности равен 10. Сумма квадратов индивидуальных значений признака равна 6250. Найти среднюю величину.

Решение

Для нахождения средней величины воспользуемся формулой

где ‑ средняя арифметическая из квадратов индивидуальных значений признака;

‑квадрат среднего значения признака.

Тогда

Средняя величина признака:

.

7. Признак совокупности принимает два значения: 10 и 20. Частость первого из них 30%, второго - 70%. Определите коэффициент вариации, если среднее арифметическое значение равно 17, а среднее квадратическое отклонение - 4,1:

а) 4,14%;

б) 24,1%.

Решение

Коэффициент вариации равен

.