- •§2. Параллельное проецирование.
- •§3. Аффинные отображения.
- •§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •§5. Изображение многоугольников.
- •§6. Изображение окружности и эллипса.
- •§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.
- •8.Изображениемногогранников.
- •§9. Изображение цилиндра
- •10 Изоброжение конуса
- •§11. Изображение шара.
- •12. Аксонометрия. Изображение точек.
- •§13. Задачи на построение в аксонометрической проекции.
- •§14. Полные и неполные изображения.
- •§15. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.
- •§16. Построение сечений многогранников. Метод следов.
- •17. Построение сечения цилиндра.
- •§18. Построение сечения конуса.
- •§19. Построение сечения шара.
- •§20. Смешанные фигуры.
- •§21. Метрические задачи.
- •22. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •23Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •25 Проективные координаты на проективной прямой.
- •26. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •27. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •28Связь между проективными координатами на плоск. И на прям.
- •29 Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •30 Уравнение прямой на плоскости.
- •31 Теорема Дезарга.
- •32 Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •33 Основное свойство проективных преобразований.
- •34 Проективная группа плоскости.
- •35 Определения и свойства.
- •36 Формулы сложных отношений.
- •37 Гармоническая четверка точек.
- •38 Определение и типы кривых второго порядка.
- •39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •40Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •41 Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •42 Теоремы Паскаля
- •43 Теорема (Брианшона)
25 Проективные координаты на проективной прямой.
Опр.2.1.1. Проективной системой координат (проективным репером) на проективной прямой a; ¯ наз. Произв-ая упорядоченная тройка точек этой прямой.
Проективный репер обычно обозначается буквойR , а точки, из которых он состоит – A1, A2 , E . Причем E называется единичной точкой репера. В дальнейшем проективный репер часто будем называть просто репером.
Пусть Oa; ¯ – произвольная точка, а (; ¯ – плоскость, которая проходит через O и a; ¯. Будем все векторы в плоскости , откладывать из точки O.
Опр. 2.1.2. Говорим, что вектор x;\s\up8(( порождает точку M на прямой a; ¯ , если x;\s\up8(( лежит на прямой OM.
Будем обозначать так: x;\s\up8(( ((;\s\up8(( M , или ( x;\s\up8(( ) = M. Очевидно, что
R \{0} ( x;\s\up8(( ) = (x;\s\up8(( ). (2.1)
Опр.2.1.3. Говорим, что базис B = {a1;\s\up8(–( , a2;\s\up8(–( } в плоскости (; ¯ порождает репер R = {A1, A2, E} , если ( a1;\s\up8(( ) = A1 , ( a2;\s\up8(( ) = A2 , ( a1;\s\up8(( + a2;\s\up8(( ) = E . Пишем: (B ) = R .
Теорема 2.1.1. Для любого репера R на прямой a; ¯ существует единственный с точностью до гомотетии с центром O базис B, который порождает реперR .
Пусть R = {A1, A2, E} – репер на a; ¯ , Oa; ¯ . Возьмем произвольный вектор e;\s\up8(–( на прямой OE и разложим его на составляющие, лежащие на прямых OA1 и OA2: e;\s\up8(( = a1;\s\up8(–( + a2;\s\up8(( . Базис B = {a1;\s\up8(( , a2;\s\up8(( } – искомый. Очевидно, подойдет и базис {a1;\s\up8(( ,a2;\s\up8(( }, 0.
Опр. 2.1.4. Пусть базис B порождает репер R , а вектор x;\s\up8(( – точку M. Проективными координатами точки M на прямой a; ¯ в репере R наз.координаты вектора x;\s\up8(–( относительно базиса B .
Из (2.1) и т 2.1.1вытекает, что эти координаты определяются с точностью до пропорциональности, т.е. данная точка в данном репере имеет не одну пару корд. (x1, x2), а мн-во пар, пропорц-ных друг другу. Поэтому зап-ют так:M(x1: x2).
Чтобы найти координаты (x1, x2) точки Ma; ¯ в репере R , необходимо:
1. выбрать собственную точку Oa; ¯;
2. выбрать базис B , который порождает R ;
3. выбрать вектор x;\s\up8(( на прямой OM ;
4. найти корд-ты (x1, x2) этого вектора в базисе B (они и будут проективными корд-ми точки M, т.е.M(x1: x2)).
В частности, поскольку ( a1;\s\up8(( ) = A1 , ( a2;\s\up8(( ) = A2 , ( a1;\s\up8(( + a2;\s\up8(( ) = E , то A1(1,0), A2(0,1), E(1,1). Теперь понятно, почему точка E называется единичной.
Замечание. Позже будет показано, что координаты точки M в репере R не зависят от выбора точки O. Заметим также, что для любой точки M(x1: x2) числа x1, x2 не равны нулю одновременно: x12 + x22 0.
Очень простой смысл имеют проективные координаты в репере, первая точка которого несобственная. Пусть R = {A1 , A2, E} – такой репер
иM – произвольная собственная точка на прямой a; ¯ . Тогда прямая OA1 a; ¯ . Обозначим
e;\s\up8(( = OE;\s\up10( –(, e1;\s\up8(( = A2E;\s\up10( –( , e2;\s\up8(( = OA2;\s\up10( –( , x;\s\up8((= OM;\s\up10( –( .
Тогда A2M;\s\up10( –( e1;\s\up8(( , т.е. xR: A2M;\s\up10( –(= xe1;\s\up8(( .
Поэтому
x;\s\up8(( = OA2;\s\up10( –( + A2M;\s\up10( –( = xe1;\s\up8(( + e2;\s\up8(( .
Значит, проективные координаты x1: x2 точки M в таком репере будут x:1, где x – обычная координата точки M в аффинной системе координат на прямой a; ¯ с началом A2 и единичной точкой E . На рисунке M(3:1).
Опр.2.1.5. Проективные координаты в репере, одна точка которого несобственная, называются однородными аффинными координатами на прямой.