§6. Изображение окружности и эллипса.

При ортогональном проецировании окружности получается эллипс. Это верно при любой параллельной проекции f:(; ¯ ^– . Пусть l=(; ¯ , A; ¯B; ¯ и C; ¯D; ¯ – диаметры окружности,

т

A; ¯

B; ¯

C; ¯

D; ¯

A

B

(; ¯



D

p;\s\up8((

l

акие что A; ¯B; ¯ ||l, C; ¯D; ¯ l. Тогда при проецировании длина всех отрезков, параллельных l не меняется, а все отрезки, перпендикулярные l, сжимаются или растягиваются в одной и той же пропорции. Тем самым, окружность равномерно сжимается или растягивается по одному направлению.

Пусть A; ¯B; ¯ и C; ¯D; ¯ – взаимно перпенд-ные

диаметры окружности (;¯. Мы знаем, что все хорды параллельные к A; ¯B; ¯ делятся C; ¯D; ¯ пополам; касательная l; ¯, проведённая к окружности через точку C; ¯ или D; ¯ перпендикулярна C; ¯D; ¯, т.е. она параллельна A; ¯B; ¯. При аффинном отображении сохраняется параллельность прямых и деление отрезка пополам. Поэтому на изображении CD будет делить хорды, параллельные к AB пополам и изображение l касательной в точке C будет параллельно к AB. Напомним, что диаметр CD, делящий хорды, параллельные к диаметру AB пополам, называется сопряжённым к диаметру AB. Свойство диаметров быть сопряжёнными взаимное: т.е. диаметр AB будет делить пополам хорды, параллельные к CD.

Итак, изображением окружности является эллипс, при этом перпендикулярные диаметры окружности изображаются сопряжёнными диаметрами эллипса. Но остаётся вопрос: а любой ли эллипс является изображением данной окружности, и что служит изображением эллипса?

Пусть  – произвольный эллипс, O – его центр, AB и CD – сопряжённые диаметры. Выберем репер R = {O, A, C}. Он определяет аффинную систему координат. Примем без доказательства, что относительно этой СК эллипс задаётся уравнением x₁²+x₂²=1. (2)

Пусть (;¯ – ещё один эллипс, O; ¯ – его центр, A; ¯B; ¯ и C; ¯D; ¯ – сопряжённые диаметры. Выберем репер R ; ¯ = {O; ¯, A; ¯, C; ¯}. Рассмотрим аффинное отображение, которое переводит репер R ; ¯ в репер R . Поскольку оба эллипса имеют относительно соответствующего репера одно и то же уравнение (2), то при этом отображении (;¯ будет переходить в . Тем самым мы доказали, что любые два эллипса аффинно-эквивалентны и поэтому могут служить изображением друг друга. В частности, изображением данной окружности может служить любой эллипс или окружность.

Способы построения эллипса. Сразу оговоримся, что при построении кривых ставится задача найти способ построения любого количества точек этой кривой.Построив достаточное кол-во точек, можем потом соединить их вручную.

1. В соответствии с определением, с помощью двух гвоздиков и верёвочки. Для этого нам должны быть даны фокусы эллипса (или их можно вычислить) и большая полуось a. Мы помещаем гвоздики в фокусы эллипса, на них закрепляем верёвочку длины 2a. Будем перемещать карандаш, оставляя верёвочку натянутой. Карандаш опишет эллипс.

2. С помощью сжатия окружности. Нам должны быть известны полуоси эллипса a и b. Мы строим окружность (;¯ радиуса a и произвольный её диаметр d; ¯. Выбираем произвольное число точек Mi;¯ на окружности. Из каждой точки опускаем перпендикуляр Mi;¯O_i на d; ¯. На этом отрезке находим точку M_i, такую, что M_iO_i/Mi;¯O_i=b/a. Найденные точки будут принадлежать эллипсу.

3. Опять же известны полуоси эллипса a и b. Мы строим две концентрические окружности ₁ и ₂ радиусов a и b. Проводим несколько радиусов OM_i большой окружности, которые пересекут малую окружность в точках N_i. Из точек проводим вертикальные линии, а из точек N_i – горизонтальные. Точки пересеч. K_i этих линий принадлежат эллипсу.

4.След-й СП. Постр-я будем наз. основным. Нам даны сопряжённые диаметры эллипса. Для обоснования этого метода построения сначала рас-им окружн. у которой даны перпендик-ые диаметры AB и CD. Через концы каждого из диаметров проведём линии, параллельные другому диаметру. Получатся кв. PQRS. Разобьём отрезок PC точ-и M_i на любое число равных частей и отрезок CO точ-и N_i на то же число част (на черт. разбили на 3 ч).Пусть K_i=AM_iBN_i Тогда точки K_i лежат на окруж.т.к. OBN_i и APN_i равны, след AK_iB=90

При аффинном отобр-и сохраняется деление отрезка на равные части. Поэтому этот СП. построения можно применить и к эллипсу