§16. Построение сечений многогранников. Метод следов.

В этом методе мы первым действием (после нахождения вторичных проекций данных точек) строим след секущей плоскости на плоскости верхнего или нижнего основания призмы или усечённой пирамиды или на основании пирамиды

Зад 2. Дано изображение треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ и трёх точек M, N, P, которые лежат соответственно на ребре СС₁ и гранях ABB₁A₁, BCC₁B₁. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через M, N, P.

Решение. Мы уже имеем одну точку на верхнем основании призмы, поэтому и след мы будем строить на верхнем основании. Строим вторичные проекции точек N и P на верхнее основание.Затем: 1.NPN₃P₃=X; 2.MX=p –след; 3.pB₁C₁=D.

Дальнейшие действия уже были показаны выше на чертеже.

Зад 3. Реш. Мы будем строить след секущей плоскости на нижнем основании призмы.

Строим:1. MNED=X, MPEP₃=Y;

2. p=XY – след;3. pBC=G, pDC=H.

Нам нужно найти точку на ребре BB₁ или на ребре AA₁.

ВграниABB₁A₁ мы уже имеем одну точку P. Поэтому нижнее ребро этой грани, т.е. AB, мы продолжаем до пересечения со следом.

4. ABp=Z.

5. PZAA₁=F; PZBB₁=K.Дальнейшие действия уже показаны выше.

Если окажется, что линия AB не пересекается со следом, то искомая FK тоже будет параллельна следу. Зад4. Реш. 1. PNP_oN_o=X;

2. MNCN_o=Y;3. p=XY – след;

3. CBp=Z;4. ZMSB=E;

5. ENSA=G 6. GEMF – иск сечение.

17. Построение сечения цилиндра.

Если секущая плоскость задана тремя точками, то мы всегда можем найти её след на плоскости основания цилиндра или конуса и точку (P, O) на его оси. Поэтому считаем, что секущая плоскость задана именно этими элементами.

Сначала рас-им случай, когда плоскость пересекает только боковую поверхность цилиндра. Тогда сечением цилиндра будет эллипс (;¯ и его изображение – тоже эллипс. Мы знаем способ построения эллипса, если известны два его сопряжённых диаметра. Мы сейчас покажем, как можно найти изображение главных диаметров эллипса (;¯.

Пусть  и ₁ – эллипсы, изображающие нижнее и верхнее основания цилиндра, O и O₁ – их центры. Проведём диаметр A₃B₃ нижнего основания, параллельный следу и сопряжённый ему диаметр C₃D₃. Для построения C₃D₃ мы используем хорду K₃L₃, один конец которой принадлежит контурной образующей. Напомним, что A₃B₃ и C₃D₃ изображают перпендикулярные диаметры. Продолжим C₃D₃ до пересечения со следом. Получим точ X. Прям.PX наз-ём осью сечения.

Поднимем точки C₃ и D₃ до оси сечения. Получим C и D. Отрезок CD является изображением большогодиаметра сечения. Поднимем отрезок A₃B₃на высоту OP. Получим отрезок AB, который является изображением малого диаметра сечения. Отр-и AB и CD –сопряж-ые диам. эллипса .

Найти ещё точки, в которых эллипс переходит с видимой стороны цилиндра на невидимую, а значит, сплошная линия переходит в пунктир. Это точки пересечения секущей плоскости с контурными образующими. ПустьY₃=K₃L₃C₃D₃. Поднимем Y₃ до оси сечения. Получим точку Y. Поднимем хорду K₃L₃ на высоту YY₃. Получим отрезок KL. Мы нашли требуемую точку K, а попутно, ещё одну дополнительную точку L. Точка M, изобр-щая пересечение секущей плоск-и со второй контурной образующей симметрична точкеK относительно точкиP.Допол-но построим точN, симметричнуюL относ-нточки P

Покажем способ, как можно найти любое кол-во точек на сечении без испол-ия этих диаметров.

выбираем люб. точкуV₃ на эллипсе . Проводим диаметрV₃T₃ и продолжаем его до пересечения со следом.Получим точкуU. Поднимаем точки V₃ и T₃ до прямой UP. Получаем две точки V и T на сечении. Выбирая вместо V₃ другую точку, получим др. 2 точки на сеч.Если выбрать точку K₃, лежащую на контурно образующей, мы найдём точки K и M, в которых сплошная линия на сечении должна перейти в пунктирную.