- •§2. Параллельное проецирование.
- •§3. Аффинные отображения.
- •§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •§5. Изображение многоугольников.
- •§6. Изображение окружности и эллипса.
- •§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.
- •8.Изображениемногогранников.
- •§9. Изображение цилиндра
- •10 Изоброжение конуса
- •§11. Изображение шара.
- •12. Аксонометрия. Изображение точек.
- •§13. Задачи на построение в аксонометрической проекции.
- •§14. Полные и неполные изображения.
- •§15. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.
- •§16. Построение сечений многогранников. Метод следов.
- •17. Построение сечения цилиндра.
- •§18. Построение сечения конуса.
- •§19. Построение сечения шара.
- •§20. Смешанные фигуры.
- •§21. Метрические задачи.
- •22. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •23Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •25 Проективные координаты на проективной прямой.
- •26. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •27. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •28Связь между проективными координатами на плоск. И на прям.
- •29 Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •30 Уравнение прямой на плоскости.
- •31 Теорема Дезарга.
- •32 Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •33 Основное свойство проективных преобразований.
- •34 Проективная группа плоскости.
- •35 Определения и свойства.
- •36 Формулы сложных отношений.
- •37 Гармоническая четверка точек.
- •38 Определение и типы кривых второго порядка.
- •39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •40Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •41 Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •42 Теоремы Паскаля
- •43 Теорема (Брианшона)
28Связь между проективными координатами на плоск. И на прям.
Пусть R = {A1, A2, A3, E} –произвольный проективный репер на плоскости (; ¯ . Спроецируем E из вершины A1 на прямую A2A3; получим точку E1. Проецируя E из A2 на A1A3, получим E2 , а проецируя E из A3 на A1A2, получим E3. На прямых A2A3, A1A3, A1A2 получились проективные реперы R 1={A2, A3,E1},
R 2= {A1, A3, E2}, R 3= {A1, A2, E3}.
Пусть M(; ¯ – произвольная точка.Аналогичным образом пол-ем точки M1, M2, M3.
Теорема 2.4.1. M(x1, x2, x3)R { M1(x2, x3)R 1 & M2(x1, x3)R 2 & & M3(x1, x2)R 3}.
Эта теорема позволяет:
1. находить проективные координаты точки на плоскости (; ¯ ;
2. строить точку по ее координатам, не выходя за пределы плоскости.
Для решения первой задачи
а) строим точки E1, M1, E2, M2;
б) находим координаты x1, x2 точки M1 в репере R 1={A2, A3, E1};
в) находим координаты x1 , x3 точки M2 в репере R 2= {A1, A3, E2};
г) координаты x1 , x3 заменяем пропорционально на x1, x3: (x1: x3 = x1 : x3 ).
д) M(x1, x2, x3)R .
Задача 2 решается аналогично.
Пример. В репере R = {A1, A2, A3, E} построить точку M(3:2:1).
Построение.
1) Выбираем репер R = {A1, A2, A3, E};
2) строим реперы R 1={A2, A3, E1} и R 2= {A1, A3, E2} (см. рисунок);
3) в репереR 1 строим точкM1(2:1); для этого
а) выбираем точку O1 A2A3 и проводим прямые O1A2 , O1A3 , O1E1 ;
б)на прям.O1E1 откл-ем вектор e1;\s\up8(( от точки O1;
в) раскладываем e1;\s\up8(( на составляющие, параллельные O1A2 и O1A3 :
e1;\s\up8(( = a2;\s\up8(( + a3;\s\up8(( и получаем базис {a2;\s\up8(( , a3;\s\up8(( };
г) в этом базисе строим вектор x;\s\up8(((2, 1) (т.е. x;\s\up8(( = 2a2;\s\up8(( + a3;\s\up8(( ), отложенный от точки O1;
д) проводим прямую l1 x;\s\up8(( через точку O1; тогда M1= l1 A2A3 ;
4) в репере R 2= {A1, A3, E2} аналогично пункту 3) строим точку M2(3:1);
5) M = A1M1 A2M2 – искомая точка.
29 Формулы замены проективных координат на плоскости.
Рассмотрим на плоскости (; ¯ два проективных репера R = {A1, A2, A3, E} и R = {A1 , A2 , A3 , E}. Пусть M(; ¯ – произвольная точка, и M(x1, x2, x3)R , M(x1, x2 , x3 )R . Будем писать коротко: M(xi )R , M(xi )R . Согласно определению 2.3.4., xi – это координаты некоторого вектора x;\s\up8(( на прямой OM в некотором базисе B = {a1;\s\up8(( , a2;\s\up8(( , a3;\s\up8(( }, а xi – это координаты некоторого вектора x(;\s\up8(( на той же прямой OM в другом базисе B ={a1(;\s\up8(( , a2(;\s\up8(( , a3(;\s\up8(( }. Поскольку векторы x;\s\up8(( и x(;\s\up8(( должны быть коллинеарны, то x(;\s\up8(( = x;\s\up8(( и x(;\s\up8(( (xi)B .
Разложим векторы базиса B по базису B : ai(;\s\up8(–( =(;\s\do10(k=1ckiak;\s\up8(–( . Тогда матрица C = [cik], i, k = 1, 2, 3 называется матрицей перехода от базиса B к базису B . Как известно, det C 0 и координаты xi и xi вектора x(;\s\up8(( в различных базисах связаны формулами:
xi = (;\s\do10(k =1cik xk . (2.6.1)
эти же формулы показывают связь проективных координат xi и xi одной и той же точки в разных реперах на плоскости. В частности, поскольку в репере R A1 (1, 0, 0), A2 (0,1, 0), A3 (0, 0, 1), E(1, 1, 1), то в репере R :
A1 (c11, c21, c31), A2 (c12, c22, c32), A3 (c13, c23, c33),
E(c11+c12+c13, c21+c22+c23, c31+c32+c33).
Замечание 1. Формулы (2.6.1) имеют место и для преобразования координат точек на прямой, при условии, что индексы i, k принимают значения 1, 2.
Замечание 2. Если обозначить X и X – столбцы составленные из координат векторов x;\s\up8(–( и x(;\s\up8(–( , то формулы (2.6.1) можно переписать в виде одного матричного равенства: X = CX (2.6.1).