- •Аналитическая геометрия и высшая алгебра
- •Глава 1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Основные определения.
- •§2. Линейные операции над матрицами.
- •§3. Линейная зависимость строк и столбцов.
- •§4. Определитель матрицы.
- •§5. Свойства определителя.
- •§6. Приведение к диагональному виду.
- •§7. Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа.
- •§8. Перестановки.
- •§9. Формула полного разложения определителя по элементам матрицы.
- •§10. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
- •§11. Ранг матрицы.
- •§12. Умножение матриц.
- •§13. Обратная матрица.
- •§14. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •§15. Ортогональная матрица.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Глава 2. Комплексные числа и многочлены §1. Комплексные числа. Операции над ними.
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§3. Многочлены.
- •§4. Комплексные матрицы.
- •Глава 3. Векторные пространства
- •§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов
- •§2. Базис и координаты в векторном пространстве
- •§3. Преобразование координат
- •§4. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского
- •§5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Матрица Грамма.
- •§6. Векторные подпространства. Ортогональное дополнение.
- •Глава 4. Системы линейных уравнений §1. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение решения.
- •§2. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
- •§3. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •§4. Примеры решения задач.
- •Советы по поводу особых ситуаций.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Глава 5. Линейные операторы §1. Понятие линейного оператора. Его матрица, ранг и дефект.
- •§2. Действия над линейными операторами.
- •§3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.
- •§4. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •§5. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •Глава 6. Билинейные функции и квадратичные формы §1. Линейные функции
- •§2. Билинейные функции
- •§3. Приведение квадратичной формы к диагональному и каноническому виду
- •§4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду
- •§5. Пространство Минковского m4.
- •Глава 7. Элементы теории групп §1. Понятие группы. Примеры.
- •§2. Группа преобразований плоскости Минковского.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель Литература
§2. Действия над линейными операторами.
Определение. Пусть A:Ln – Ln и B:Ln – Ln – два линейных оператора, действующие в одном и том же векторном пространстве. Оператор C:Ln – Ln , который действует по правилу: Cx=Ax+Bx называется суммой операторов A и B. Мы пишем C=A+B.
Произведением оператора A на число называется оператор A, который действует по правилу (A)x=(Ax). Оператор 1A обозначаем A.
Композицией операторов A и B называется оператор F, который действует по правилу: Fx=B(Ax). Пишем F=BA.
Проверьте самостоятельно, что операторы A+B, A и BA тоже являются линейными.
Предложение 4. Пусть в пространстве Ln выбран базис и пусть A, B – матрицы операторов A и B в данном базисе. Тогда оператор A+B имеет матрицу A+B, оператор A имеет матрицу A, а оператор BA имеет матрицу BA. Таким образом, действиям над линейными операторами соответствуют точно такие же действия над их матрицами.
Доказательство. Пусть C=A+B и пусть xLn – произвольный вектор. Пусть y1=Ax, y2=Bx, y3=Cx, а X, Y1, Y2, Y3 – соответствующие координатные столбцы относительно выбранного базиса и C – матрица оператора C. Тогда
Y1=AX, Y2=BX, Y3=CX.
Согласно определению, y3=Cx=Ax+Bx=y1+y2, а значит, и для их координатных столбцов выполнено Y3=Y1+Y2
CX=AX+BX=(A+B)X.
для любого столбца X. Это и означает, что C=A+B.
Утверждение про матрицу оператора A докажите самостоятельно.
Пусть теперь y=Ax, z=By, а X, Y, Z – соответствующие координатные столбцы относительно выбранного базиса. Тогда
Y=AX, Z=BY Z=B(AX)=(BA)X.
Сдругой стороны,z=(BA)x=Cx Z=CX. Итак, для любого столбца X выполнено CX=(BA)X C=BA.
Замечание. При доказательстве мы использовали утверждение: если для любого столбца X выполнено AX=BX, то A=B. Мы его докажем на практических занятиях.
Свойства операций над линейными операторами.
1. A+B =B+A; 5. (A+B)=A+B;
2. (A+B)+C =A+(B+C); 6. (+)A=A+A;
3. A+O =A; 7. ()A=(A);
4. A+(A)=O; 8. 1·A=A.
Эти свойства в точности совпадают с аксиомами векторного пространства. Таким образом, множество всех линейных операторов, действующих из Ln в Ln образует векторное пространство.
§3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.
Пусть в векторном пространстве Ln выбраны два базиса: B = {e1, e2,…, en}, B = {e1, e2,…, en} и пусть C – матрица перехода.. Пусть A и A матрицы оператора A:Ln – Ln в первом и втором базисах. Нам нужно найти связь между этими матрицами.
Пусть xLn произвольный вектор, X и X – его координатные столбцы в первом и втором базисах. Пусть y=Ax, Y и Y – его координатные столбцы в первом и втором базисах. Действие оператора относительно первого базисов задаётся формулами
Y=AX, Y=AX. (5.4)
Мы знаем, как преобразуются координаты векторов при замене базиса:
Y=CY, X=CX.
Подставляем эти равенства в первое из равенств (5.4):
CY=A(CX) Y=(C1AC)X.
Сравниваем это равенство со вторым из равенств (5.4). Мы видим, что
A=C1AC (5.5)
Это и есть закон преобразования матрицы линейного оператора, при переходе к новому базису.