- •Аналитическая геометрия и высшая алгебра
- •Глава 1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Основные определения.
- •§2. Линейные операции над матрицами.
- •§3. Линейная зависимость строк и столбцов.
- •§4. Определитель матрицы.
- •§5. Свойства определителя.
- •§6. Приведение к диагональному виду.
- •§7. Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа.
- •§8. Перестановки.
- •§9. Формула полного разложения определителя по элементам матрицы.
- •§10. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
- •§11. Ранг матрицы.
- •§12. Умножение матриц.
- •§13. Обратная матрица.
- •§14. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •§15. Ортогональная матрица.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Глава 2. Комплексные числа и многочлены §1. Комплексные числа. Операции над ними.
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§3. Многочлены.
- •§4. Комплексные матрицы.
- •Глава 3. Векторные пространства
- •§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов
- •§2. Базис и координаты в векторном пространстве
- •§3. Преобразование координат
- •§4. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского
- •§5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Матрица Грамма.
- •§6. Векторные подпространства. Ортогональное дополнение.
- •Глава 4. Системы линейных уравнений §1. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение решения.
- •§2. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
- •§3. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •§4. Примеры решения задач.
- •Советы по поводу особых ситуаций.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Глава 5. Линейные операторы §1. Понятие линейного оператора. Его матрица, ранг и дефект.
- •§2. Действия над линейными операторами.
- •§3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.
- •§4. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •§5. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •Глава 6. Билинейные функции и квадратичные формы §1. Линейные функции
- •§2. Билинейные функции
- •§3. Приведение квадратичной формы к диагональному и каноническому виду
- •§4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду
- •§5. Пространство Минковского m4.
- •Глава 7. Элементы теории групп §1. Понятие группы. Примеры.
- •§2. Группа преобразований плоскости Минковского.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель Литература
§9. Формула полного разложения определителя по элементам матрицы.
Теорема 1.2. detA = (;\s\do10(I(j1(1)I(j1, j2,…, jn)aj1; 1aj2; 2… ajn;n.
Поясним, что здесь записано. Мы выбираем в матрице n элементов, так чтобы из каждой строки и каждого столбца был выбран ровно один элемент. Мы расположим эти элементы в порядке возрастания номеров строк и составим их произведение. Тогда номера столбцов образуют перестановку I(j1, j2,…, jn). Если эта перестановка нечётная, то мы добавляем к произведению знак минус. Затем мы все такие произведения складываем. Число слагаемых равно числу различных перестановок (j1, j2,…, jn) нижних индексов, т.е. равно n!.
Например, множество индексов {1, 2, 3} имеет 6 перестановок:
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1),
среди которых нечётными являются вторая, третья и шестая. Поэтому разложение определителя третьего порядка имеет вид
= a1;1a1;2a1;3+ a2;1a3;2a1;3+ a3;1a1;2a2;3a1;1a3;2a2;3a2;1a1;2a3;3a3;1a2;2a1;3.
Эту формулу можно запомнить виде схемы
§10. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
Определение. Система из m линейных уравнений с n неизвестными (СЛУ) имеет вид:
(1.11)
Числа aij называются коэффициентами системы, а числа b1, b2,…, bm – свободными членами. Коэффициенты системы образуют матрицу A, а свободные члены – столбец B:
A= , B =
Символы x1, x2,…, xn называются неизвестными. Матрица
A*=
Называется расширенной матрицей СЛУ (8).
Определение. Решением системы линейных уравнений (1.11) (частным решением) называется любой набор чисел (1, 2,…, n), при подстановке которых вместо неизвестных x1, x2,…, xn все уравнения системы превращаются в верные равенства. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.
Например, следующая система несовместна:
СЛУ может иметь более, чем одно решение. Тогда она имеет бесконечное количество решений. Например, все решения системы
можно записать в виде (12, ),R (т.е. выступает здесь в качестве параметра: вместо мы можем подставить любое число, и получится частное решение). Такая запись называется общим решением системы.
Пусть теперь число уравнений в СЛУ равно числу неизвестных: m=n. Тогда матрица A является квадратной. Обозначим =detA, а i – определитель матрицы, которая получается из A заменой i-го столбца на столбец свободных членов B. Например,
1= .
Теорема 1.3. (Правило Крамера). Если 0, то СЛУ (1.11) (при m=n) имеет, и притом единственное решение. Это решение можно найти по формулам
x1 = , x2 = , …, xn = .
Обратите внимание, что данная теорема состоит из двух утверждений. Первое предложение о существовании и единственности решения имеет самостоятельное большое значение.
Пример 3. Найти решение системы уравнений
Решение.
== –2, 1= = 6, 2= = – 4.
x1 = = = –3, x2 = = = 2.
Ответ: (–3, 2).
§11. Ранг матрицы.
Определение. Рангом системы строк (системы столбцов) матрицы A называется максимальное количество её линейно независимых строк (столбцов). Т.е. говорим, что ранг системы строк матрицы A равен r1, если в матрице существует r1 линейно независимых строк, а любые r1+1 строк линейно зависимы; говорим, что ранг системы столбцов матрицы A равен r2, если в матрице существует r2 линейно независимых столбцов, а любые r2+1 столбцов линейно зависимы.
Определение. Рангом матрицы A называется максимальная размерность её ненулевого минора. Т.е. говорим, что ранг матрицы A равен r, если в ней существует ненулевой минор порядка r, а любой минор порядка r+1 равен нулю (или таких миноров вообще нет).
Ранг матрицы обозначаем rankA или rkA. Если L – ненулевой минор порядка r, то он называется базисным минором. В матрице может быть несколько базисных миноров. Строки и столбцы, в которых расположен базисный минор будем называть базисными.
Пример 3. В следующей матрице первая и вторая строки пропорциональны, а третья строка им не пропорциональна.
A= .
Поэтому в матрице есть 2 линейно независимые сроки, а 3 строки линейно зависимы. Значит ранг системы строк матрицы A равен 2.
Минор
L12;23 = 0,
а любой минор порядка три должен включать в себя часть первой и часть второй сроки. Поэтому любой минор порядка 3 равен нулю. Значит, L12;23 – базисный минор и rankA=2. Также базисными будут миноры L13;23 , L14;23 , L34;23 , L24;23 .
Перебирать все миноры в поисках базисного – это очень трудоёмкая задача. Поэтому можно использовать метод окаймляющих миноров. Если мы нашли ненулевой минор L порядка k, то мы затем перебираем не все миноры порядка k+1, а только те, которые содержат в себе минор L (их будем называть окаймляющими). Если все окаймляющие миноры окажутся равными нулю, то и все миноры порядка k+1 тоже будут равны нулю, и мы сделаем вывод, что rankA=k. Если среди окаймляющих миноров мы найдём ненулевой минор L, то переходим к минорам порядка k+2, которые содержат в себе L, и т.д.
Другой метод вычисления ранга матрицы и нахождения базисного минора – это метод Гаусса. С подобным методом мы уже познакомились, когда приводили матрицу к треугольному виду с целью вычислить её определитель. При вычислении ранга матрицы мы можем позволить себе больше видов действий.
Назовём элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования.
1. Вычёркивание срок и столбцов, которые состоят только из нулей.
2. Перестановка строк или столбцов.
3. Умножение строки или столбца на число не равное нулю.
4. Прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой строки (столбца), домноженной на некоторое число.
Предложение 4. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.
Шаг 1. Вычеркнем все строки и столбцы, состоящие только из нулей.
Шаг 2. В первом столбце матрицы выберем ненулевой элемент и строку, в которой он находится, поставим на первое место.
Шаг 3. Разделим первую строку на a1;1. К каждой i-ой строке матрицы прибавим первую строку, домноженную на число a1; i. В результате мы получим матрицу вида
A= .
Шаг 4. Совершаем те же действия над матрицей
B=,
совершая их на самом деле над всей матрицей. Т.е., если в матрице B какой-либо столбец равен нулю, то мы вычёркиваем его во всей матрице A. В результате мы получим матрицу вида
A= .
Шаг 5. Совершаем те же самые действия, которые были описаны выше с матрицей
,
совершая на самом деле их над всей матрицей A.
В конечном итоге мы получим матрицу вида
, (1.12)
определитель которой равен 1. Сколько в этой матрице осталось строк и столбцов, таков и ранг матрицы. Для того, чтобы указать в исходной матрице A базисный минор, надо вспомнить какие номера в ней имели оставшиеся не вычеркнутыми строки и столбцы. В этих сроках и столбцах находится базисный минор.
В процессе преобразований мы вычеркнули все строки, которые не были базисными, т.е. они превратились в нулевые. До этого мы прибавляли к ним другие строки, домноженные на некоторые числа. Получается, что небазисные строки являются линейной комбинацией тех строк, которые мы к ним прибавляли. Мы могли совершать элементарные преобразования над столбцами матрицы и прийти к аналогичному выводу для столбцов. Отсюда вытекает теорема.
Теорема 1.4. (О базисном миноре) Любая строка матрицы является линейной комбинацией базисных строк, а любой столбец – линейной комбинацией базисных столбцов.
Следующую теорему примем без доказательства.
Теорема 1.5. (О ранге матрицы) Ранг системы строк матрицы равен рангу системы столбцов и равен рангу матрицы.
Мы можем продолжить элементарные преобразования матрицы (1.12) и с помощью единиц, стоящих на диагонали занулить все элементы, обозначенные звёздочками. В результате мы получим единичную матрицу. Тем самым мы базисный минор можем привести к виду единичной матрицы. Если исходная матрица A является квадратной и для неё detA0, то этот определитель и будет её базисным минором. При этом все столбцы будут базисными, и нам не придётся вычёркивать столбцы в процессе элементарных преобразований. Отсюда вытекает теорема.
Теорема 1.6. Если для квадратной матрицы detA0, то с помощью элементарных преобразований одних только строк матрицы мы можем привести эту матрицу к виду единичной матрицы.
Если не вычёркивать столбцы в матрице, но допускать их перестановку, то с помощью элементарных преобразований строк мы можем привести матрицу к виду
.
Для этого нам понадобится на первое место переставить базисные столбцы. Все оставшиеся не вычеркнутыми строки будут базисными и их количество равно рангу матрицы. Этот результат окажется нам очень полезным, когда мы будем вести речь о решении СЛУ методом Гаусса. Затем, с помощью выделенных единиц мы можем занулить все стоящие выше их элементы и наша матрица примет вид
. (1.13)
Теорема 1.4. Если для квадратной матрицы detA=0, её строки столбцы линейно зависимы (без доказательства).