§4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду
Пусть Ln – векторное пространство, p(x) – положительно определённая квадратичная форма, определённая на Ln, а g(x,y) – полярная её симметрическая билинейная функция. Определим для x,yLn
x·y=g(x,y).
Эта операция удовлетворяет всем аксиомам A11-A14 скалярного произведения в евклидовом пространстве. При этом, p(x) – это скалярный квадрат вектора. Таким образом, произвольное векторное пространство, в котором задана положительно определённая квадратичная форма, превращается в евклидово пространство.
Теорема 6.6. Пусть в векторном пространстве Ln определены две квадратичные формы k(x) и p(x), причём p(x) положительно определена. Тогда в Ln существует базис, в котором обе формы имеют диагональный вид, при этом одна из них – канонический вид.
Доказательство. Введём в Ln скалярное произведение с помощью полярной к p(x) билинейной симметрической функции g(x,y), превратив его тем самым в евклидово пространство En. Согласно теореме 6.2 существует ОНБ в En, относительно которого k(x) имеет диагональный вид. Этот базис и будет искомым. Действительно, g(ei,ej)= ei·ej=ij, а это значит, что матрица билинейной функции g(x,y) является единичной. Поэтому p(x) в новом базисе имеет вид
p(x)=(x1)2 + (x2)2 +…+ (xn)2.
Е
сли
мы хотим добиться, чтобы канонический
вид имела квадратичная формаk(x),
то мы применим процедуру, описанную в
теореме 6.3. При этом, p(x)
потеряет канонический вид, но сохранит
диагональный вид.
На практике приводить две формы каноническому виду можно следующим образом. Пусть A и B – матрицы квадратичных форм f и g, причём g положительно определена. Тогда матрицей самосопряжённого оператора, соответствующего f, будет B1A (без доказательства). Значит, характеристическое уравнение имеет вид det(B1AE)=0. Это уравнение имеет такие же корни, что и уравнение
det(AB)=0.
Также система линейных уравнений (B1AE)X=0 равносильна СЛУ
(AB)X=0.
§5. Пространство Минковского m4.
Определение. Пусть в четырёхмерном пространстве существует базис B = {e1;\s\up8(( , e2;\s\up8(( , e3;\s\up8(( , e4;\s\up8(( }, относительно которого скалярное произведение векторов x;\s\up8(((x1, x2, x3, x4), y;\s\up8(((y1, y2, y3, y4) вычисляется по формуле
x;\s\up8((·y;\s\up8(( = x1y1 + x2y2 + x3y3 x4y4.
Тогда это пространство называется пространством Минковского. Будем обозначать его M4.
Скалярный квадрат вектора вычисляется по формуле
x;\s\up8((2 = (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 (x4)2.
Мы видим, что существуют ненулевые векторы, скалярный квадрат которых отрицателен или равен нулю.
Определение. Ненулевой вектор x;\s\up8(( называется пространственноподобным, если x;\s\up8((2 > 0, времениподобным, если x;\s\up8((2 < 0, и изотропным, если x;\s\up8((2 =0.
Условие изотропности вектора x;\s\up8(( имеет вид (x1)2+(x2)2+(x3)2(x4)2=0. Если отложить все изотропные векторы от начала координат, то их концы лежат на конусе K, который задаётся уравнением
(
x1)2
+
(x2)2
+
(x3)2
(x4)2
=
0.
Он называется конусом изотропных векторов или изотропным конусом. Если времениподобный (пространственноподобный) вектор отложить от начала координат, то представляющий его направленный отрезок будет находиться внутри (снаружи) конуса K.
На данном рисунке a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( – соответственно пространственноподобный, времениподобный и изотропный векторы.
В специальной теории относительности (СТО) используется пространство M4, в котором каждая точка
M(x1, x2, x3, x4) называется событием. (x1, x2, x3) – трактуются, как координаты точки в трёхмерном пространстве, а x4= ct, где c – скорость света, а t – время. Иными словами «событие» – это единство пространства и времени. В таких обозначениях уравнение изотропного конуса:
(x1)2+(x2)2+(x3)2 (ct)2 = 0.
Пусть (x1(t), x2(t), x3(t)) – траектория движения материальной точки в трёхмерном пространстве. Тогда ей соответствует траектория
(x1(t), x2(t), x3(t), t)
в пространстве M4. Эта траектория называется мировой линией. Луч света, исходящий из начала координат движется по прямой, которая лежит на изотропном конусе. Поэтому этот конус ещё называют световым конусом. Мировая линия для материальной точки, проходящая через начало координат, всегда лежит внутри светового конуса (потому, что скорость движения материальной точки меньше скорости света). Более того, касательный вектор к мировой линии в любой её точке всегда времениподобный. На рисунке она подписана буквой .
Изотропный конус, вместе со своей внутренностью обозначим K; ¯. Он делится на конус будущего K+= {Q(x1, x2, x3, x4) K; ¯ | x4> 0}, и конус прошлого K–= {Q(x1, x2, x3, x4) K; ¯ | x4< 0}. K+ состоит из тек точек в которые можно попасть из начала координат; K состоит из тех точек, из можно попасть в начало координат. Если точка лежит вне K; ¯, то между ней и началом координат не может быть никакой связи.