- •Аналитическая геометрия и высшая алгебра
- •Глава 1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Основные определения.
- •§2. Линейные операции над матрицами.
- •§3. Линейная зависимость строк и столбцов.
- •§4. Определитель матрицы.
- •§5. Свойства определителя.
- •§6. Приведение к диагональному виду.
- •§7. Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа.
- •§8. Перестановки.
- •§9. Формула полного разложения определителя по элементам матрицы.
- •§10. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
- •§11. Ранг матрицы.
- •§12. Умножение матриц.
- •§13. Обратная матрица.
- •§14. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •§15. Ортогональная матрица.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Глава 2. Комплексные числа и многочлены §1. Комплексные числа. Операции над ними.
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§3. Многочлены.
- •§4. Комплексные матрицы.
- •Глава 3. Векторные пространства
- •§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов
- •§2. Базис и координаты в векторном пространстве
- •§3. Преобразование координат
- •§4. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского
- •§5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Матрица Грамма.
- •§6. Векторные подпространства. Ортогональное дополнение.
- •Глава 4. Системы линейных уравнений §1. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение решения.
- •§2. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
- •§3. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •§4. Примеры решения задач.
- •Советы по поводу особых ситуаций.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Глава 5. Линейные операторы §1. Понятие линейного оператора. Его матрица, ранг и дефект.
- •§2. Действия над линейными операторами.
- •§3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.
- •§4. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •§5. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •Глава 6. Билинейные функции и квадратичные формы §1. Линейные функции
- •§2. Билинейные функции
- •§3. Приведение квадратичной формы к диагональному и каноническому виду
- •§4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду
- •§5. Пространство Минковского m4.
- •Глава 7. Элементы теории групп §1. Понятие группы. Примеры.
- •§2. Группа преобразований плоскости Минковского.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель Литература
§2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Пусть теперь на плоскости задана ещё полярная система координат, у которой полярная ось сонаправлена сOx. Пусть (r, ) полярные координаты точки z. Тогда r называется модулем комплексного числа z, а – его аргументом. Обозначаем r=|z|, =argz.
В соответствии с формулами перехода от полярных координат к декартовым
Значит
z=r(cos+isin).
Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа, а запись z=a+bi называется алгебраической формой. Очевидно (например, из чертежа), что z=r(cosisin)=r(cos()isin()).
Пусть два комплексных числа заданы своими уравнениями в тригонометрической форме:
z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2).
Тогда
z1·z2=r1r2(cos1+isin1)·(cos2+isin2)=
=r1r2(cos1cos2sin1sin2)+i(cos1sin2+sin1cos2)=
=r1r2(cos(1+2)+i(sin(1+2)).
Таким образом, при умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули умножаются, а аргументы складываются. Поскольку деление есть операция обратная умножению, то
= (cos(12)+i(sin(12)).
Пусть z=r(cos+isin). Ещё одним следствием из правила умножения является формула:
zn=rn(cosn+isinn).
Определение. Число называется корнем n-ой степени из комплексного числа z, если =zn.
Пусть
z=r(cos+isin), =(cos+isin).
Тогда
n(cosn+isinn)=r(cos+isin)
Отсюда
n=r, n=+2k, kZ =, = , kZ.
Итак,
=(cos +isin ), kZ.
При k=0, 1, …, n1 мы получаем n различных комплексных чисел o,…, n1. Если возьмём k=n, то получим, что
cos = cos(+2)=cos, sin = sin(+2)=sin.
То есть n=o. Аналогично, n+1=1 … и т.д. Таким образом, после k=n1 корни начинают повторяться.
Итак, каждое комплексное число (в том числе и действительное), кроме нуля, имеет ровно n различных корней n-ой степени. Все они расположены на окружности радиуса и делят эту окружность на n равных частей.
Пример. Найти все значения .
Решение. Приведём число к тригонометрической форме:
i=1·(cos + i sin).
Тогда общая формула для всех корней третьей степени:
k=1·(cos +isin )=
=cos ( + k) +isin ( + k), k=0, 1, 2.
Получаем три различных корня:
o=cos +isin = + i ,
1=cos +isin = + i ,
2=cos +isin =i.
§3. Многочлены.
Определение. Многочленом степени n называется формальное алгебраическое выражение вида
p(x)=anxn+an1xn1 + … + a1x+ao, (2.1)
где an0. Выражение anxn называется старшим членом, ao – свободным членом. Коэффициенты an, an1, … , ao могут быть комплексными.
Определение. Говорим, что многочлен h(x) является частным от деления многочлена p(x) на многочлен q(x), а r(x) является остатком, если выполнено равенство
p(x)=q(x)h(x)+r(x), (2.2)
и при этом степень остатка r(x) меньше делителя q(x). Если остаток равен нулю, то говорим, что p(x) делится на q(x) (или делится без остатка). Тогда пишем: p(x)q(x).
Пример. Разделить с остатком многочлен x32x212x7 на x2+3x+2.
x32x212x7 x2+3x+2
x3+3x2+2x x5
5x214x7
5x215x10
x+3
Значит, x5 это частное, а x+3 остаток.
Определение. Число c называется корнем многочлена p(x), если p(c)=0.
Теорема. Остаток от деления многочлена p(x) на xc равен значению p(c).
Доказательство. Остаток от деления на многочлен 1 степени может быть только числом. Пусть
p(x)=(xc)h(x)+r.
Подставим сюдаx=c. Получим p(c)=r.
Следствие. Число c является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(x)(xc).
Определение. Если p(x) делится на (xc)k, но не делится на (xc)k+1, то число c называется корнем многочлена p(x) кратности k. Тогда можем записать, что p(x)=(xc)k h(x). Если k=1, то корень c называется простым.
Определение. Определим производную от многочлена (2.1) по формуле
p(x)=nanxn1 + (n1)an1xn2 + … + 2a2x+a1.
Теорема 2.1. Если c является корнем многочлена p(x) кратности k, то c является корнем многочлена p(x) кратности k1.
Основная теорема алгебры комплексных чисел. Всякий многочлен с действительными или комплексными коэффициентами (степень которого больше нуля) имеет хотя бы один корень во множестве С.
Следствие. Всякий многочлен p(x) степени n с действительными или комплексными коэффициентами имеет в точности n корней во множестве С (если каждый корень считать столько раз, какова его кратность).
Доказательство следствия. Пусть c1 корень многочлена p(x). Разделим p(x) на xc1:
p(x)=(xc1) h(x).
Тогда h(x) имеет степень n1. Пусть n10 и c2 корень многочлена h(x). Тогда
h(x)=(xc2) g(x) p(x)=(xc1)(xc2) g(x).
Тогда g(x) имеет степень n2. Пусть n20 и c3 корень многочлена g(x). Тогда
g(x)=(xc3) f(x). p(x)=(xc1)(xc2)(xc3) f(x).
И т.д. В конечном итоге получим
p(x)=(xc1) (xc2) … (xcn)an. (2.3)
Примем без доказательства, что разложение (2.3) единственно. Если многочлен имеет кратные корни, то среди множителей в (2.3) есть одинаковые. Множитель xci встречается столько раз, какова кратность корня ci. Обозначим эту кратность ki. Если объединить одинаковые множители, то получим разложение
p(x)=an(xc1)k1(xc2)k2 … (xcl)kl.
Например, многочлен 2x35x24x+12 имеет корни 2 и 1,5; причём кратность корня 2 равна 2. Поэтому имеет место разложение
2x35x24x+12=2(x2)2(x+1,5).
Теорема 2.2. Пусть p(x) многочлен с действительными коэффициентами и c – его комплексный корень. Тогда c тоже является корнем.
Например, многочлен x22x+6 имеет корни 1+i и 1i.
Из теоремы следует, что если в разложении многочлена присутствует множитель xc, то там присутствует и множитель xс;¯. Перемножим их:
(xc)(xс;¯)=x2(c+с;¯)x+cс;¯= x22ax+(a2+b2).
Получился многочлен с действительными коэффициентами. Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема 2.3. Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение
an(xc1)k1(xc2)k2 … (xcl)kl q1q2 … qm
где c1, c2,…, cl действительные корни, k1, k2,…, kl их кратности, а q1, q2,…, qm – квадратные трёхчлены с отрицательным дискриминантом.