- •Свойства прообразов и образов
- •Обратная функция.
- •Примеры
- •Эквивалентные определения
- •Примеры
- •Примеры
- •Суперпозиция функций (сложная функция).
- •Определение
- •Свойства композиции
- •Дополнительные свойства
- •Счетные и несчетные множества.
- •Свойства отношения равномощности.
- •Свойство полноты множества вещественных чисел.
- •Плотность множества рациональных чисел в r.
- •Промежутки числовой прямой.
- •Модуль числа.
- •Свойства модуля.
- •Ограниченные числовые множества. Границы числовых множеств.
- •Свойства точных границ.
- •Последовательности.
- •Числа x1,x2,…,xn – члены последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках. (Принцип Коши-Кантора)
- •Предел последовательности.
- •Свойства пределов числовых последовательностей.
- •Предел и алгебраические операции.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Бесконечно малые последовательности (величины).
- •Основные свойства б.М. Последовательностей.
- •Бесконечно большие последовательности (величины).
- •Расширение понятие предела.
- •Основные свойства бесконечно больших последовательностей.
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
- •Арифметические свойства предела. (Бесконечно большие последовательности и арифметические операции)
- •Вопросы существования пределов.
- •Свойства фундаментальной последовательности.
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Предел подпоследовательности сходящейся последовательности.
- •Вычисление пределов некоторых последовательностей.
Предел последовательности.
Если изобразить члены последовательности точками на числовой оси, то можно заметить, что с ростом n члены последовательности xn становятся ближе к 1 и величина|xn-1| становится все меньше.
Определение 1 (аналитическое). Число а называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать такой номер N, что все члены xn последовательности, у которых номер n>N, удовлетворяют неравенству: (2)
(отрицание)
Неравенство (2) равносильно двойному неравенству:
-<xn-a< (если n>N), или а-<xn<а+ (если n>N) (3)
Определение 2 (геометрическое). Число а называется пределом числовой последовательности {xn}, если для каждой окрестности точки а найдется такой номер N, что для всех номеров n>N члены последовательности принадлежат этой окрестности.
,
Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. В противном случае – расходящейся.
Примеры. 1)
Докажем, что
Возьмем N=+1, тогдаN>.
([а] - целая часть числа а – наибольшее целое число, не превосходящее а. Например:
)
2) Покажем, что .
Докажем, что
Возьмем N=+1, тогдаN>.
3) Доказать, что число (-1) не является пределом последовательности xn=(-1)n.
Доказательство. Отрицание:
В нашем случае
Т.о. для 0=
4) Последовательность называется постоянной, если все ее члены одинаковы, т.е. xn=a n=1,2,3,.. Предел постоянной последовательности =a.
Свойства пределов числовых последовательностей.
Определение. Числовая последовательность {xn} называется ограниченной, если (т.е. множество значений {xn} ограничено).
Последовательность ограничена сверху, если
Последовательность ограничена снизу, если
Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности). Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть xn→a. Покажем , что .
Возьмем =1, тогда
Положим С=max{1+a,x1,…,xN} xn<N ч.т.д.
Предел и алгебраические операции.
Пусть даны две последовательности {xn}и {уn}.
{xn+уn}: x1+y1,x2+y2,… - сумма последовательностей {xn}и {уn}.
{xnуn}: x1y1,x2y2,… - произведение последовательностей {xn}и {уn}.
- отношение, {xn}- произведение последовательности на число.
Теорема 1. Пусть даны последовательности {xn}и {уn} и =а,=b, тогда сумма {xn+уn} также является сходящейся и =a+b.
Доказательство. Оценим
Т.к. =а, то,
Т.к. =b, то
Положим N=max(N1,N2): и .
Следовательно, , т.е.=a+b ч.т.д.
Теорема 2. Пусть даны последовательности {xn}и {уn} и =а,=b, тогда произведение {xnуn} также является сходящейся и =ab.
Доказательство.
Т.к. {xn} сходящаяся, то она ограничена. Следовательно,
Подберем с таким образом, чтобы
Т.к. =а, то
Т.к. =b, то
Положим N=max(N1,N2): и .
Тогда , т.е.=ab ч.т.д.
Следствие из теоремы 2.
- т.е. константу можно выносить за знак предела.
(Доказательство. Следует из свойства 2 при {уn}=.)
Теорема 3.
Если =b≠0, то - оценка снизу дляyn.
Более того, для указанных n, если b>0, то yn>, если жеb<0, то yn<.
Таким образом, начиная с некоторого номера yn сохраняет знак b.
Доказательство.
Т.к. =b, то для
С другой стороны
Получаем , отсюда - доказали 1-ю часть.
С другой стороны, неравенство эквивалентно двум неравенствам:
b-<yn<b+,n>N
Тогда, если b>0, то =b-<yn, n>N
Если b<0, то yn<b+=b-,n>N – доказано 2-е утверждение. Ч.т.д.
Теорема 4. Пусть даны последовательности {xn}и {уn}. Пусть =а. Пусть все значения переменной уn отличны от нуля и =b (b≠0), тогда частное {} также является сходящейся и.
Доказательство. . Покажем, что.
(1).
По предыдущему утверждению, (2)
По (1) и (2)
Т.к. =b, то
Положим N=max(N1,N2): .Ч.т.д.
Утверждение (или задача?). Пусть даны последовательности {xn}и {уn} и =а,=b, тогда разность {xn-уn} также является сходящейся и =a-b.
Доказательство. Оценим . Далее аналогично сумме: Т.к.=а, то
Т.к. =b, то
Положим N=max(N1,N2): и .
Следовательно, ч.т.д.