Основные свойства бесконечно больших последовательностей.

Свойство 1. Пусть x_n – б.б. величина при n→. Пусть переменная y_n имеет предел, отличный от 0. Тогда x_ny_n - б.б. величина.

Доказательство. 1) Пусть ,b≠0 и b – конечное число. Т.к. b≠0, то .

Положим =. Т.к. по условию, то взятому>0 отвечает номер N₁ такой, что при n>N₁ будет , т.е., еслиn>N₁.

Имеем ,т.е.,если n>N₁

По условию x_n – б.б. величина при n→. По числу >0 (гдеM>0 - сколь угодно большое число) можно указать номер N₂ такой, что при n>N₂ будет .

Положим N=max{N₁,N₂}. Тогда при n>N будут выполняться оба неравенства:

и . Поэтому приn>N будет:

, т.е. приn>N, а это и означает, что x_ny_n - б.б. величина при n→. Ч.т.д.

2) Пусть

Это значит, что для любого сколь угодно большого числа С>0 можно указать номер N₁ такой, что при n>N₁ будет .

Т.к. x_n – б.б. величина при n→, то по числу >0 (гдеM>0 - сколь угодно большое число) можно указать номер N₂ такой, что при n>N₂ будет .

Положим N=max{N₁,N₂}. Тогда при n>N будут выполняться оба неравенства:

и . Поэтому приn>N будет:

, т.е. приn>N, а это и означает, что x_ny_n - б.б. величина при n→. Ч.т.д.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Свойство 2. Если все значения x_n≠0 и если {x_n} - б.б. при n→, то последовательность - б.м. приn→.

Доказательство. Возьмем сколь угодно малое >0. Т.к. x_n – б.б. величина при n→, то по сколь угодно большому числу М=>0 можно указать номерN такой, что при n>N будет , т.е., еслиn>N.

Тогда при n>N будет , а значит, еслиn>N. А это значит, что - б.м. приn→. Ч.т.д.

Свойство 3. Если все значения _n≠0 и если {_n} - б.м. при n→, то последовательность - б.б. приn→.

Доказательство. Возьмем произвольное сколь угодно большое число М>0.

Т.к. {_n} - б.м. при n→, то любому сколь угодно малому числу >0 (в частности числу =>0) отвечает номерN такой, что при n>N будет

, т.е. , еслиn>N

Но тогда при n>N будет , а значит, еслиn>N. Что и означает, что последовательность - б.б. приn→. Ч.т.д.

Арифметические свойства предела. (Бесконечно большие последовательности и арифметические операции)

1. Если x_n→a, y_n→+(-) при n→ x_n+y_n→+ (-)

Если x_n→+(-), y_n→+(-) при n→ x_n+y_n→+ (-)

Если x_n→+(-), y_n→+(-) при n→ x_n-y_n – неопределенность вида [ -]

Примеры. 1) x_n=n→+, y_n=n+→+, y_n-x_n=→0

2) x_n=n→+, y_n=2n→+, y_n-x_n=n→

3) x_n=n+5→+, y_n=-n→-, y_n+x_n=5→5

4) x_n=n+(-1)ⁿ→+, y_n=-n→-, y_n+x_n=(-1)ⁿ – предела не существует

2. Если x_n→a, y_n→+(-) при n→ x_ny_n→

Если x_n→+(-), y_n→+(-) при n→ x_ny_n→+

Если x_n→+, y_n→- при n→ x_ny_n→-

Если x_n→0, y_n→+(-) при n→ x_ny_n- неопределенность

Примеры. 1) x_n=→0,y_n=n→+, y_nx_n=1→1

2) x_n=→0,y_n=n→+, y_nx_n=→0

3) x_n=→0,y_n=n→, y_nx_n=(-1)ⁿ - предел не существует

3. Последовательность {x_n} – ограничена, y_n→+(-)

Если x_n→+(-), y_n→+(-) при n→ неопределенность вида

Если x_n→0, y_n→0 при n→ неопределенность вида

Примеры. 1) x_n=→0,y_n=→0,=→0

2) x_n=→0,y_n=→0,=(-1)ⁿ предел не существует

4) x_n=2n→+, y_n=n→+, =2→2

3) x_n=(3+(-1)ⁿ)n→, y_n=n→+, =3+(-1)ⁿ – предел не существует.

Примеры на нахождение пределов (с.51)