Вопросы существования пределов.

Определение. Пусть дана числовая последовательность x₁,x₂,…,x_n,… .

Эта последовательность называется фундаментальной, если для любого сколь угодно малого >0 найдется номер N=N(), зависящий от , такой, что начиная с этого номера, т.е.

Фундаментальная последовательность называется так же сходящейся «в себе».

Пример. 1) Покажем, что последовательность - фундаментальна.

Доказательство.

Возьмем N=+1,т.е.N>. Тогда

2) Покажем, что последовательность 0,1,0,1,… не является фундаментальной.

Какой бы номер N мы не взяли, найдутся такие числа n, m=n+1, что , т.е. последовательность не фундаментальна.

Свойства фундаментальной последовательности.

Теорема 1. Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть {x_n} – фундаментальная последовательность. Покажем, что

Т.к. {x_n} – фундаментальная последовательность, то

>0 N=N():

Возьмем =1, тогда =1

В частности,

Если , то

Положим С=, тогдаn=1,2,…, т.е. фундаментальная последовательность ограниченна. ч.т.д.

Теорема 2. (Критерий Коши) (Критерий – необходимое и достаточное условие – сходимости).

Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство.

1. Необходимость. Дано: {x_n}-сходящаяся, x_n→a, n→.

Доказать, что {x_n}- фундаментальная.

Рассмотрим (1)

Т.к. {x_n}-сходящаяся, то возьмем >0, тогда

Если n, mN, то виду (1) имеем ч.т.д.

2. Достаточность. Дано: {x_n}- фундаментальная, доказать, что {x_n}- сходящаяся.

Т.к. {x_n}-фундаментальна, то она ограничена.

Пусть I₁ – наименьший отрезок, содержащий все члены последовательности.

I₂ – наименьший отрезок, содержащий все члены {x_n}, начиная со 2-го: х₂, х₃,…

И.т.д.

I_k - наименьший отрезок, содержащий все члены {x_n}, начиная с k-го x_k,x_k+1,…

И т.д.

Тогда I₁I₂I₃….

Согласно лемме о вложенных отрезках, найдется точка а, принадлежащая всем этим отрезкам:

Т.к. {x_n}- фундаментальная, то возьмем >0, тогда

В частности, если m=N, то .

В частности это означает, что в интервал попадает отрезокI_N (т.е. элементы x_n ).

Т.о. имеем, что точка а и все члены последовательности для содержатся в интервале длины, т.е. , т.е.x_n→a, n→. Ч.т.д.

Примеры (с.71 и с.73)

1) Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности {x_n}, где x_n=1+++…+.

Доказательство. Возьмем >0 и рассмотрим разность . Имеем

==++…+<++

+…+=+++…+=

=-<

Т.о. получили, что pN <.

Рассмотрим неравенство <n>. ПоложимN=, тогдаn>N будет <, следовательно, n>N и pN <.

Следовательно, данная последовательность сходится. Ч.т.д.

2) Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности {x_n}, где x_n=1+++…+.

Доказательство. Возьмем любое , удовлетворяющее условию 0<<и рассмотрим разность. Имеем

=++…+.

В правой части р слагаемых, - наименьшее из этих слагаемых. Если каждое слагаемое в правой части заменить на наименьшее, то получим>, откуда приp=n будем иметь >> n. Следовательно, {x_n} расходится. Ч.т.д.

Монотонные последовательности.

Определение. Последовательность {x_n} называется возрастающей (неубывающей), если n=1,2,… x_nx_n+1

Если n=1,2,… x_n<x_n+1, то {x_n} – строго возрастающая.

Если n=1,2,… x_nx_n+1, то {x_n} – убывающая (невозрастающая).

Если n=1,2,… x_n>x_n+1, то {x_n} – строго убывающая.

Последовательности всех рассмотренных типов называются монотонными.

Примеры. 1) 1,1,0,0,…- убывающая.

2) : 1,,,… - строго убывающая.

Теорема 1. 1) Если последовательность {x_n} неубывающая (в частности строго возрастающая) и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.

2) Если последовательность {x_n} неубывающая (в частности строго возрастающая) и сверху не ограничена, то .

Доказательство.1) Пусть последовательность {x_n} возрастающая, т.е. n=1,2,… x_nx_n+1

Т.к. числовое множество {x_n} ограничено сверху, то С:n=1,2,… x_nС

Пусть а=- точная верхняя граница – т.к. всякое ограниченная сверху последовательность имеет точную верхнюю границу. (Покажем, что=а.)

Тогда n=1,2,… x_nа (1)

Возьмем сколь угодно малое >0 и рассмотрим число а-. Т.к. а-<a, то по свойству супремума на множестве {x_n} найдется такой элемент , что будет>a-.

Т.к. последовательность неубывающая, то nN  x_n  (2)

Следовательно, при nN будет x_n>>a- (3)

При nN будут выполняться неравенства (1) и (3), т.е.

а-<x_na, а значит и а-<x_na+, т.е. . А это значит, что=а. 2) По условию числовое множество {x_n} не ограничено сверху.

Это означает, что какое бы большое число М>0 мы ни взяли, на множестве {x_n}обязательно найдется хотя бы одни элемент такой, что>M.

Т.к. последовательность {x_n}неубывающая, то при n>N  x_n , а, следовательно, при n>N будет x_n>M. А это означает, что . Ч.т.д.

Теорема 2. 1) Если последовательность {x_n} невозрастающая (в частности строго убывающая) и ограничена снизу, то она имеет конечный предел.

2) Если последовательность {x_n} невозрастающая (в частности строго убывающая) и снизу не ограничена, то .

(Доказательство – аналогично доказательству теоремы 1).

Доказательство.1) Пусть последовательность {x_n} невозрастающая, т.е. n=1,2,… x_nx_n+1

Т.к. числовое множество {x_n} ограничено снизу, то существует точная нижняя граница этого множества.

Пусть b=- точная нижняя граница. Тогдаn=1,2,… x_nb (4)

Возьмем сколь угодно малое >0 и рассмотрим число b+. Т.к. b+>b, то по свойству инфимума на множестве {x_n} найдется такой элемент , что будет<b+.

Т.к. последовательность невозрастающая, то nN  x_n

Следовательно, при nN будет x_n<b+ (5)

При nN будут выполняться неравенства (4) и (5), т.е.

bx_n<b+, а значит и b-<x_n<b+, т.е. . А это значит, что=b.

2) По условию числовое множество {x_n} не ограничено снизу.

Это означает, что какое бы большое число М>0 мы ни взяли, на множестве {x_n}обязательно найдется хотя бы одни элемент такой, что<-M.

Т.к. последовательность {x_n}невозрастающая, то при n>N  x_n, а, следовательно, при n>N будет x_n<-M. А это означает, что . Ч.т.д.

Замечание. Все утверждения теорем 1 и 2 остаются в силе и для последовательности, которая становится монотонной лишь начиная с некоторого номера, т.е. при nN_*, N_*N (т.к. без влияния на предел последовательности – любое число первых ее значений можно отбросить).

Пример. Найти (a>0).

Если 0<a<1, aⁿ – б.м. величина. Поэтому =0. При а=1==0.

Пусть a>1. В этом случае отношение представляет собой неопределенность. Обозначим=x_n. Имеем:

x_n+1===x_n.

Как только n+1>a (т.е. n>a-1), так последовательность x_n становится строго убывающей. Последовательность x_n ограниченна снизу (например, числом 0). Следовательно, по теореме 2 последовательность x_n имеет конечный предел. Обозначим его через с.

Для того, чтобы найти его, перейдем к пределу в равенстве

x_n+1=x_n

Т.к. x_n+1 пробегает ту же последовательность значений, что и x_n (с точностью до первого члена), то x_n+1 имеет тот же предел с. Будем иметь:

=с=с0с=0.

Т.о., при a>1 =0.