- •Свойства прообразов и образов
- •Обратная функция.
- •Примеры
- •Эквивалентные определения
- •Примеры
- •Примеры
- •Суперпозиция функций (сложная функция).
- •Определение
- •Свойства композиции
- •Дополнительные свойства
- •Счетные и несчетные множества.
- •Свойства отношения равномощности.
- •Свойство полноты множества вещественных чисел.
- •Плотность множества рациональных чисел в r.
- •Промежутки числовой прямой.
- •Модуль числа.
- •Свойства модуля.
- •Ограниченные числовые множества. Границы числовых множеств.
- •Свойства точных границ.
- •Последовательности.
- •Числа x1,x2,…,xn – члены последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках. (Принцип Коши-Кантора)
- •Предел последовательности.
- •Свойства пределов числовых последовательностей.
- •Предел и алгебраические операции.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Бесконечно малые последовательности (величины).
- •Основные свойства б.М. Последовательностей.
- •Бесконечно большие последовательности (величины).
- •Расширение понятие предела.
- •Основные свойства бесконечно больших последовательностей.
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
- •Арифметические свойства предела. (Бесконечно большие последовательности и арифметические операции)
- •Вопросы существования пределов.
- •Свойства фундаментальной последовательности.
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Предел подпоследовательности сходящейся последовательности.
- •Вычисление пределов некоторых последовательностей.
Предельный переход в неравенствах.
Лемма. Даны сходящиеся последовательности {xn}и {уn} и =а,=b. Если a>b, то (т.е. конечное число членов последовательности на сходимость не влияют).
Доказательство. Возьмем число >0, т.к.a>b.
По условию =a, значит, взятому >0 отвечает номер N1 такой, что , т.е.a-<xn<a+
В частности, xn>a-=.Т.о. xn>, если
По условию =b, значит, взятому >0 отвечает номер N2 такой, что , т.е.b-<yn<b+
В частности, yn<b+=
Т.о. yn<, если
Положим N=max(N1,N2), тогдабудут выполняться оба неравенства:
xn>иyn<. Следовательно,при. Ч.т.д.
Теорема 1 (о единственности предела). Сходящаяся последовательность не может иметь более 1 предела.
Доказательство 1. Допустим противное: xn→a и xn→b a≠b
Пусть, например a<b. Тогда по лемме найдется номер N такой, что при n>N будет: xn<xn – чего быть не может. Ч.т.д.
Доказательство 2. Рассмотрим окрестности точек a и b такие, что V(a)V(b)=.
Т.к. xn→a, то
Т.к. xn→b, то
Тогда N=max(N1,N2): чего быть не может, т.к.V(a)V(b)=
Следовательно a=b. Ч.т.д.
Теорема 2 (о предельном переходе в неравенствах). Если =а,=b и начиная с некоторого номера N выполнено одно из условий:
xnyn или xn<yn для всех nN, тогда ab.
Доказательство. Допустим противное, т.е. a>b, тогда по лемме найдется такой номер (можно считать, что>N) такой, что xn>yn. Получили противоречие. Следовательно, теорема доказана. Ч.т.д.
Таким образом, в неравенствах можно осуществлять предельный переход.
Пример. xn= -,yn=.xn<yn – строгое неравенство.
Однако, xn→0,n→, yn→0,n→ (=(-1)=0), т.е. =-нестрогое нер-во.
Следствие. Если {xn} – сходящаяся последовательность и начиная с некоторого номера N выполняется одно из неравенств 1) xn<c или 2) xnc , то.
(Аналогично, если 1)xn>c или 2) xnc , то).
Доказательство. Следует из теоремы 2 при {уn} – постоянная последовательность, уn=с.
Теорема 3 (о пределе промежуточной последовательности, принцип «двух милиционеров (полицейских)»).
Пусть даны три числовые последовательности {xn}, {уn}, {zn} и пусть начиная с некоторого номера N, т.е. xnynzn, тогда, если последовательности {xn} и {zn} стремятся к одному и тому же конечному пределу а, то и {уn} стремится к этому же пределу.
Доказательство. Возьмем >0 – любое сколь угодно малое – и рассмотрим - окрестность точки а.
Т.к. xn→а, n→, значит взятому >0 отвечает номер N1 такой, что , т.е.a-<xn<a+
В частности, xn>a-.
По условию zn→а, n→, значит, взятому >0 отвечает номер N2 такой, что , т.е. а-<zn<а+
В частности, zn<a+
Положим =max(N,N1,N2), тогдабудут выполняться оба неравенства, т.е
a-<xnynzn<a+
Следовательно, при a-<yn<a+, т.е. а=Ч.т.д.
Бесконечно малые последовательности (величины).
Определение 1. Последовательность {n}, пробегающая последовательность значений 1,2,….,n,.., называется бесконечно малой последовательностью, если
=0.
Исходя из определения предела последовательности при а=0, можно дать другое определение бесконечно малой (б.м.) последовательности.
Определение 2. Последовательность {n}, пробегающая последовательность значений 1,2,….,n,.., называется бесконечно малой последовательностью, если для любого сколь угодно малого положительного числа >0 можно указать номер N, такой, что все значения n, у которых номер n>N, по абсолютной величине будут меньше , т.е. , еслиn>N.
Пример. Покажем, что если q<1, то qn – бесконечно малая.
Возьмем сколь угодно малое >0 и рассмотрим неравенство qn< (*)
Если q=0, то неравенство (*) выполняется при всех n.
Предположим, что q≠0. Тогда неравенство (*) равносильно неравенству:qn<.
Прологарифмируем последнее неравенство. Получим равносильное неравенство:
или неравенство (т.к.q<1, то )
Считая <1, положим N=, тогда приn>N окажется, чтоqn<.
А это означает, что qn – бесконечно малая при q<1.