- •Дифференциальное исчисление. Производная.
- •Геометрический смысл производной.
- •Односторонние производные.
- •Дифференцируемые функции.
- •Правила дифференцирования.
- •Формула для приращения функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •Дифференцирование функций, заданных неявно.
- •Дифференциал функции.
- •Геометрический смысл дифференциала.
- •Основные свойства и правила дифференцирования.
- •Дифференциал сложной функции.
- •Производные высших порядков.
- •Дифференциалы высших порядков.
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Правила дифференцирования.
Пусть функции U=U(x), V=V(x) дифференцируемы в точке х0, тогда функции U±V, UV, CU, U/V также дифференцируемы в этой точке и справедливы равенства:
=0, где С=const
(V≠0)
Доказательство. 2) Дадим х приращение х. Тогда функции u(x) и v(x) получат соответственно приращения u и v, их новыми значениями будут u(x)+u и v(x)+v (т.к.
u=u(x+x)-u(x), v=v(x+x)-v(x))
Пусть y=uv, тогда
y=[(u(x)+u)(v(x)+v)]-[u(x)v(x)]=u(x)+uv(x)v-u(x)v(x)=uv
3. Приращение функции у=UV:
у+∆у=(u(x)+∆u)(v(x)+∆v)-uv=u(x)v(x)+∆uv(x)+u(x)∆v+∆u∆v-u(x)v(x)=
=∆uv(x)+u(x)∆v+∆u∆v
Рассмотрим отношение приращений функции и аргумента:
=
Т.к. функция u=u(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна, следовательно , т.е.=0.
(или =0)
Т.о. =ч.т.д.
Доказательство 4. Представим функцию у=в виде у=u и сведем к предыдущему случаю.
==-=
Тогда ч.т.д.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведения производной каждого из сомножителей на все остальные, например:
Таблица производных.
С=0 (С=const)
=nxn-1
6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
Пример. Вывод производной функции у=tg x и у=ctg x, используя правило 4.
Формула для приращения функции.
Пусть функция у= f(y) определена в промежутке Х и в точке х0Х имеет конечную производную . Придадим х0 произвольное приращение х≠0 и х0+хХ. Положим (*)
Ясно, что зависит от х (=(х)) и
Из соотношения (*) находим f(x0+x)-f(x0)=[+(x)]x
или у=[+(x)]x (**) – формула для приращения функции.
Мы установили формулу (**) для х≠0, т.к. при х=0 соотношение (*) теряет смысл. Если доопределить функцию (х) в точке х=0, то формулу (**) будет верна и для х=0. Будем полагать (0)=0. Тогда формула (**) будет верной как для х≠0, так и для х=0 и соотношение будет верно независимо от того, по какому законух→0 (хотя бы х и принимало значение нуль).
Производная сложной функции.
Пусть даны функции f и φ: . Т.е. функцияy=f(u) определена в промежутке U, а функция u=(х) определена в промежутке Х и если хХ, то (х)U. Тогда для хХ имеет смысл выражение F(x)=f((x)) – сложная функция.
Теорема. Пусть 1) функция u=(x) имеет в некоторой точке х0 производную , 2) функция у=f(u) имеет в соответствующей точке u0=(x0) производную . Тогда сложная функция y=f((x)) так же имеет производную в точке х0 и она равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной, т.е.
Доказательство. Придадим х0 произвольное приращение х≠0 и х0+хХ. Тогда функция u=(х) получит приращение u=(х0+х)-(х0).
Т.к. y=f(u), то приращению u соответствует приращение y=f(u0+u)-f(u0).
По формуле приращения функции (**)y=[+(u)]u,
где (u)→0, при u→0. Тогда =[+(u)]
Пусть х0. Тогда, т.к. функция u=(х) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в точке х0 и, следовательно, u0. Поэтому и (u)→0, при х→0. Получаем
Т.е. существует ич.т.д.
Пример. (Вводим цепочку вспомогательных функций)
1)
2) у=sin lnx 3)y=
Пример. Дифференцирование степенной функции.
Покажем, что
хα==eαlnx
= eαlnx=xα·α·=αxα-1 ч.т.д.
Производная степенно-показательной функции у=f(x)g(x).
Рассмотрим логарифмическую производную, т.е. производную логарифмической функции:(относительная скорость изменения функции или темп изменения функции).
Тогда ln y=g(x)lnf(x). Дифференцируя, получим
.
Т.к. у=f(x)g(x), получаем
Т.е. для того, чтобы найти производную степенно-показательной функции надо сначала дифференцировать ее как степенную, а потом как показательную функцию и полученные результаты сложить.
Пример. Найти производную функции у=хх.