Дифференциал сложной функции.

Рассмотрим сложную функцию у=f((x)).

Пусть даны функции f и φ: . Т.е. функцияy=f(u) определена в промежутке U, а функция u=(х) определена в промежутке Х и если хХ, то (х)U. Тогда для хХ имеет смысл выражение у=f((x)) – сложная функция.

Пусть функция u=(x) имеет конечную производную на промежутке Х, а функция у=f(u) имеет конечную производнуюна промежуткеU.

Т.к. у=f((x)) – функция независимой переменной х, определенная на промежутке Х, то, по определению дифференциала:

dy=dx (*)

По правилу дифференцирования сложной функции

=

Подставляя это выражение для в соотношение (*), получим:

dy=dx

По определению дифференциала: du=dx

Окончательно получаем: dy=du (**)

Сравнивая соотношения (*) и (**) заметим, что дифференциал сложной функции у=f((x)) через промежуточную переменную u выражается в той же форме, как и через независимую переменную х.

В этом состоит свойство инвариантности (неизменяемости) формы дифференциала.

Пример. у=,x(-1,1) .

Положим х=sin t, t. Тогда у=.

Тогда dx=cos tdt, dy=-sin tdt

- получили лишь другое выражение для вычисленной выше производной.

Производные высших порядков.

Пусть функция у=f(x) определена в некотором промежутке Х и в каждой точке этого промежутка имеет конечную производную (х). Тогда производная сама является функцией от х на промежутке Х.

Назовем (х) – производной первого порядка.

Если существует производная от (х), то ее называют -производной второго порядка (второй производной) от функции у=f(x):,,.

Вторая производная также может иметь производную на промежутке Х.

Производная от второй производной называется производной 3-го порядка (третьей производной): ,,.

Аналогично вводятся четвертая, пятая и т.д. производные от функции у=f(x). Обозначения производной n–го порядка: ,,.

Пример. 1) y=ln x, x(0,+)

, ,

Допустим, что ,

тогда

Т.о. верна

2) y=sin x, х(-,+)

,

Допустим, что

Тогда

Т.о.

3. Пусть функции u(x) и v(x) в некотором промежутке Х имеют конечные производные всех порядков до n включительно. Рассмотрим функцию у(х)=u(x)v(x).

Допустим, что

Тогда

Т.о.

Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций.

Теорема. (б/д) Пусть функции u(x) и v(x) в некотором промежутке Х имеют конечные производные всех порядков до n включительно. Тогда функция у(х)=u(x)v(x) имеет в промежутке Х конечные производные всех порядков до n включительно, причем ,m=1,2,…,n

(Доказывается, аналогично выводу формулы ).

Пример. у=х²е^х. Вычислить у⁽¹⁰⁰⁾. Здесь u(x)=е^х, v(x)= х².

у⁽¹⁰⁰⁾=(е^хх²)⁽¹⁰⁰⁾=

=(е^х)⁽¹⁰⁰⁾х²+100(е^х)⁽⁹⁹⁾+(е^х)⁽⁹⁸⁾+0= е^хх²+200е^хх+9900 е^х.

Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция у=f(x) определена в некотором промежутке Х и имеет там конечную производную (х). Тогдаdy=(х)dx (1)

dy – функция от х, определенная в промежутке Х.

Второй дифференциал (дифференциал 2-го порядка) d²y функции у=f(x) определяется как дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е.

d²y=d(dy)

Если дифференциал d^n-1y порядка (n-1) функции у=f(x) уже определен, то дифференциал dⁿy порядка n функции у=f(x) равен:

dⁿy=d(d^n-1y)

Для вычисления дифференциалов высшего порядка, рассмотрим случай, когда аргумент х является независимой переменной. В этом случае dх=х, т.е dх совпадает с произвольным приращением независимой переменной, а значит, dх не зависит от х и, следовательно, при дифференцировании по х величину dх следует рассматривать как постоянное число. Получаем:

d²y=d(dу)=d((х) dх)==(dx)² (2)

d³y=d(d²у)=d((х) (dх)²)==(dx)³ (3)

Допусти, что dⁿy=(dx)ⁿ

Тогда dⁿ⁺¹y=d(dⁿу)=d((х) (dх)ⁿ)==(dx)ⁿ⁺¹

Следовательно, справедлива формула:

(4)

Т.о., если аргумент х является независимой переменной, n-я производная функции у=f(x) в точке хХ равна отношению дифференциала n-го порядка этой функции в точке х, к n-й степени дифференциала аргумента.

Если аргумент х сам является функцией х=φ(t) некоторой переменной t. В этом случае y=f(φ(t)), где t – независимая переменная, а х – промежуточная переменная.

По свойству инвариантности формы дифференциала 1-го порядка сложной функции в этом случае будет:

dy=(х)dx

Только в этом случае dx уже нельзя рассматривать как постоянное число, т.к.

dx=

Здесь уже 2-й дифференциал d²х вообще говоря не равен нулю и определяется как d²х=

Используя правило вычисления дифференциала от произведения двух функций, будем иметь:

d²y=d(dу)=d((х) dх)=

 d²y=(dx)²+(x)d²x (5)

d³y=d(d²у)=d((dx)²+(x)d²x)== =(dx)³+2(x)dxd²x+(x)dxd²x+(x)d³x 

 d²y=(dx)³+3(x)dxd²x+(x)d³x (6)

Сравнив формулы (5) и (6) с формулами (2) и (3) (когда переменная х была независимой), замечаем, что свойство инвариантности формы для дифференциалов сложной функции порядка n (n2) в общем случае не имеет места.