Дифференциал функции.

Подход к дифференциальному исчислению связан с аппроксимацией (приближением) функций.

Пусть функция y=f(x) определена в некотором промежутке Х и точка х₀Х. Дадим значению аргумента х₀ приращение Δх такое, что Δх≠0 и х₀+ΔхХ.

Пусть Δу=f(х₀+Δх)-f(х₀) – приращение функции в точке х₀, соответствующее приращению х аргумента.

Если функция f(x) имеет в точке х₀ конечную производную , то приращение Δу этой функции в точке х₀ может быть представлено в виде

Δу=х+(х)х (1)

где α(x)→0 при x→0.

Если ≠0, то первое слагаемое в формуле (1) пропорционально величинех или линейно зависит от х.

Т.к. в этом случае ≠0, то слагаемоех является при x→0 бесконечно малой того же порядка, что и х.

Второе слагаемое (х)х правой части (1) при x→0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем х, т.к.

Определение. Дифференциалом функции у=f(х) в точке х₀ называется произведение производной, вычисленной в этой точке, на приращение х аргумента:

dy=x (2)

Пример. Найти дифференциал функции у=х.

dy=dx=(x)x=x.

Т.о. полагают, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, т.е. dx=x. (это своего рода соглашение).

Тогда вместо равенства (2) можно записать dy=dx (3) или

=(4)

Рассмотрим формулу Δу=х+(х)х (1)

Если ≠0, т.е.dy≠0 при х≠0, то

=1/

Значит в случае, когда ≠0, приращение функцииу и ее дифференциал dy оказываются эквивалентными бесконечно малыми при х0. Поэтому в этом случае верно приближенное равенство: уdy (5)

Приближенное равенство (5) тем точнее, чем меньше х.

Формулой (5) пользуются в приближенных вычислениях, т.к. структура дифференциала функции dy проще структуры ее приращения у.

Пример. у=х³.

у=(х+х)³-х³=3х²х+3х(х)²+(х)³, а dy=3х² х

Если взять х=2, х=0,01, то у=340,01+320,0001+0,000001=0,120601, а dy=34 0,01=0,12. Т.о. абсолютная ошибка dy-у=0,000601, относительная ошибка

Геометрический смысл дифференциала.

Пусть графиком функции y=f(x), хХ является кривая L. Пусть значению аргумента х₀ соответствует некоторая точка М₀. Проведем к кривой L в точке М₀ касательную М₀Т. Для углового коэффициента касательной справедлива формула .

При переходе от х₀ к х₀+х ордината касательной получит приращение

NK=xtg =x=dy.

Т.о., dy – это это приращение ординаты точки, лежащей на касательной к кривой L в точке М₀, при переходе от х₀ к х₀+х.

Замена приращения функции у дифференциалом dy равносильна переходу от заданной функциональной зависимости у от х (y=f(x)) к линейной зависимости у от х в достаточно малой окрестности точки х₀. Полученная при такой замене погрешность оказывается бесконечно малой более высокого порядка, чем приращение аргумента.

Основные свойства и правила дифференцирования.

Т.к. дифференциал dy функции y=f(x) получается умножением производной этой функции на дифференциал независимой переменнойdx (dy=dx), то операции на вычисление производной и дифференциала, с точки зрения техники вычислений, почти не отличаются друг от друга. Это позволяет из формул для производных получить соответствующие формулу для дифференциалов.

Рассмотрим формулу . Умножим обе части на dx, получим:

или

d(u±v)=du±dv

Аналогичным образом получим остальные формулы:

1) dС=0 2) d(cu)=cdu 3) d(u±v)=du±dv 4) d(uv)=vdu+udv

5) d

6) d(x^r)=rx^r-1dx 7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)