Производная обратной функции.

Если у=f(х) – взаимно однозначное отображение, т.е. является инъекцией (х₁≠х₂ f(x₁)≠f(x₂)) и сюръекцией (отображение «на») (f(A)=B или такое, чтоy=f(x)). (f:X→Y; φ= f^-1:Y→X)

Можно определить новую функцию: f^-1:B→A, x=f^-1(y)–обратная функция, относительно f.

Пусть функция у=f(x) определена в промежутке a,b и является там строго монотонной и непрерывной. Тогда у функции у=f(x) существует обратная функция х=(у), определенная в промежутке p,q, причем эта функция в промежутке p,q также строго монотонна и непрерывна. (p,q - множество значений, принимаемых функцией у=f(x) на промежутке a,b).

Теорема. Пусть 1) функция у=f(x) определена в промежутке a,b и является там строго монотонной и непрерывной; 2) функция у=f(x) имеет конечную ненулевую производную в точке х₀a,b. Тогда обратная функция х=(у)=f^-1(у) также имеет производную в соответствующей точке у₀=f(x₀)p,q и справедлива формула: . или

Если у=f(x) имеет ненулевую производную в каждой точке, то или

Доказательство. По условию 0.

Придадим у₀ приращение у≠0 такое, что точка у₀+уp,q.

Тогда функция х=(у) получит приращение х=(у₀+у)-(у₀).

В силу строгой монотонности функции х=(у) х≠0, если у≠0.

В силу непрерывности функции х=(у) х0, если у0.

Имеем очевидное равенство . Перейдем в этом равенстве к пределу приу0. Получим:

Т.к. по условию . Тогда существует и. Ч.т.д.

Геометрический смысл формулы . Еслиявляется тангенсом угла α наклона касательной к кривой у=f(x) к оси Ох, то- тангенс угла наклона β той же касательной к оси Оу.

Пример.

1) у=arcsin x, х(-1,1) (у)(График)

Эта функция является обратной для функции x=sin y, которая для у имеет конечную отличную от нуля производную. .

Тогда функция у=arcsin x для х(-1,1) имеет конечную производную, причем

(перед радикалом взят знак «+», т.к. cos y>0 для у). Т.о. , х(-1,1).

2) у=arcоs x, х(-1,1) (у(0,))

Эта функция является обратной для функции x=соs y, которая для у(0,) имеет конечную отличную от нуля производную. .

Тогда функция у=arccos x для х(-1,1) имеет конечную производную, причем

(перед радикалом взят знак «+», т.к. sin y>0 для у (0,)). Т.о. , х(-1,1).

3) у=arctg x, х(-,+) (у)

Эта функция является обратной для функции x=tg y, которая для у имеет конечную отличную от нуля производную. .

Тогда функция у=arctg x для х(-,+) имеет конечную производную, причем

. Т.к. tg y=x, то получаем

, х(-,+).

3) у=arcсtg x, х(-,+) (у(0,))

Эта функция является обратной для функции x=сtg y, которая для у(0,) имеет конечную отличную от нуля производную. .

Тогда функция у=arcсtg x для х(-,+) имеет конечную производную, причем

. Т.к. сtg y=x, то получаем

, х(-,+).

Дифференцирование функций, заданных неявно.

Рассмотрим функцию F(x,y)=0

Для нахождения ее производной дифференцируют обе части тождества, рассматривая у как функцию от х. Получим тождество Φ(х,у,)=0, из которого получаем производную.

Пример.Найти производную функции хlny-ylnx=9