1. Нормальное распределение

Распределение непрерывной случайной величины x называют нормальным N(x, ), если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой

или

где

x – значение изучаемого признака;

– средняя арифметическая ряда (центр распределения);

– дисперсия значений изучаемого признака;

 - среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;

– нормированное отклонение.

Кривая нормального распределения обладает рядом особенностей:

1. кривая симметрична и имеет максимум в точке

2. кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности;

3. чем больше отдельные значения отклоняются от , тем реже они встречаются;

4. кривая имеет две точки перегиба на расстоянии ± от ;

5. площадь между ординатами, проведёнными на расстоянии ± составляет 0,683, т.е. 68,3% всех частот находятся в пределах ±;

6. площадь между ординатами, проведёнными на расстоянии ± 2 составляет 0,954, т.е. 95,4% всех частот находятся в пределах ±;

7. площадь между ординатами, проведёнными на расстоянии ± 3 составляет 0,997, т.е. 99,7% всех частот находятся в пределах ±;

8. коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю;

9. при неизменном , тем больше вытянута кривая вверх, а чем больше, тем кривая более плоская и вытянутая вдоль оси абсцисс.

10. при неизменной чем больше, тем больше максимальная ордината кривой.

исунокиенты асимметрии и эксцесса равны нулю

Алгоритм вычисления теоретических частот кривой нормального распределения:

1. вычислить среднюю арифметическую ряда

2. вычислить среднее квадратическое отклонение ;

3. вычислить нормированное отклонение каждого варианта от средней арифметической t

4. вычислить значение функции (t)

5. вычислить теоретические частоты

где

N – объём совокупности;

h_i– длина интервала.

2. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона выражается формулой

где

P(x) – вероятность того, что признак примет то или иное значение.

Графически распределение Пуассона представлено на рисунке

Распределение Пуассона наблюдается в совокупностях, число единиц которых достаточно велико (N ≥ 100), а доля единиц, обладающих большими значениями признака, мала. Средняя арифметическая ряда и дисперсия, как правило, совпадают или почти совпадают.

Алгоритм вычисления теоретических частот кривой распределения Пуассона:

1. вычислить среднюю арифметическую ряда

2. вычислить теоретические частоты

где

N – объём совокупности;

3. Критерии согласия

Выдвинутая гипотеза относительно того, к какому типу относится распределение, должна быть проверена с помощью критериев согласия. Критерии согласия, опираясь предполагаемый закон распределения, позволяют установить являются ли расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами несущественными. Наиболее часто применяются критерии согласия Пирсона, Романовского и Колмогорова.

1. Критерий согласия Пирсона

Критерий согласия Пирсона (хи-квадрат):

где

k – число групп, на которые разбито эмпирическое распределение;

m_i – наблюдаемая частота признака в i-й группе;

- теоретическая частота, рассчитанная по предполагаемому распределению.

По указанной выше формуле вычисляется расчётное значение критерия Пирсона. Затем его нужно сравнить с табличным значением, называемым критическим значением критерия согласия. Критическое значение зависит от уровня значимости и числа степеней свободы.

Уровень значимости () - вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях используют три уровня значимости:

• = 0,1 (в десяти случаях из ста может быть отвергнута правильная гипотеза);

• = 0,05 (в пяти случаях из ста может быть отвергнута правильная гипотеза);

• = 0,01 (в одном случае из ста может быть отвергнута правильная гипотеза).

Обычно используется значение 0,05.

Число степеней свободы (v) – разность числа групп в ряду распределения и числа связей:

Число связей (z) – число показателей эмпирического ряда, использованных при вычислении теоретических частот .

При выравнивании по кривой нормального распределения имеется три связи, т.к. три показателя . При выравнивании по кривой Пуассона две связи, т.к. два показателя.

Для распределения Пирсона составлены таблицы, в которых по выбранному уровню значимости и числу степеней свободы определяется критическое значение критерия согласия.

Критическое значения критерия Пирсона

Число степеней свободы v	Уровни значимости 						Число степеней свободы v		Уровни значимости 
	0,10	0,05	0,01					0,10		0,05	0,01
1	2,71	3,84	6,63			21		29,62		32,67	38,93
2	4,61	5,99	9,21			22		30,81		33,92	40,29
3	6,25	7,81	11,34			23		32,01		34,17	41,64
4	7,78	9,49	13,28			24		33,20		36,42	42,98
5	9,24	11,07	15,09			25		34,38		37,65	44,31
6	10,64	12,59	16,81			26		35,56		38,89	45,64
7	12,02	14,07	18,48			27		36,74		40,11	46,96
8	13,36	15,51	20,09			28		37,92		41,34	48,28
9	14,68	16,92	21,67			29		39,09		42,56	49,59
10	15,99	18,31	23,21			30		40,26		43,77	50,89
11	17,28	19,68	24,72			40		51,80		55,76	63,69
12	18,55	21,03	26,22			50		63,17		67,50	76,15
13	19,81	22,36	27,69			60		74,40		79,08	88,38
14	21,06	23,68	29,14			70		85,53		90,53	100,42
15	22,31	25,00	30,58			80		96,58		101,88	112,33
16	23,54	26,30	32,00			90		107,56		113,14	124,12
17	24,77	27,59	33,41			100		118,50		124,34	135,81
18	25,99	28,87	34,81
19	27,20	30,14	36,19
20	28,41	31,41	37,57

Если , то при заданном уровне значимости и гипотеза о несущественности (случайности) расхождения отклоняется и теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Если , то эмпирический ряд хорошо согласуется с выдвинутой гипотезой, и с вероятностью (1-) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно.

Если в эмпирическом ряду распределение задано частостями, то критерий Пирсона вычисляется по формуле:

где

k – число групп, на которые разбито эмпирическое распределение;

w_i – наблюдаемая частость признака в i-й группе;

– теоретическая частость, рассчитанная по предполагаемому распределению.

При использовании критерия Пирсона необходимо, чтобы объём исследуемой совокупности был не меньше 50, а численность каждой группы не менее 5.