- •Оглавление
- •Статистическое наблюдение
- •Группировка и сводка статистических данных
- •Обобщающие статистические показатели
- •3.1. Абсолютные величины
- •3.2. Относительные величины
- •3.3. Средние величины
- •3.3.1. Средняя арифметическая
- •3.3.1.1. Метод отсчёта от условного нуля
- •3.3.2. Средняя гармоническая
- •3.3.3. Средняя геометрическая
- •3.3.4. Средняя квадратическая
- •Вариационные ряды
- •Основные показатели вариационных рядов
- •Показатели среднего уровня
- •Средние степенные
- •Медиана
- •Показатели степени вариации
- •4.1.2.6. Виды дисперсий
- •4.1.2.6.1. Правило сложения дисперсий
- •4.1.2.6.2. Эмпирическое корреляционное отношение
- •4.1.2.6.3. Правило сложения дисперсий для доли признака
- •4.1.3. Показатели дифференциации и концентрации
- •4.1.3.1. Показатели дифференциации
- •20 – 30
- •50 – 60
- •4.1.3.2. Показатели концентрации
- •4.1.4. Показатели формы распределения
- •4.1.4.1. Моменты распределения
- •4.1.4.1.1. Начальные моменты
- •4.1.4.1.2. Условные моменты
- •4.1.4.1.3. Центральные моменты
- •4.1.4.2. Показатели асимметрии распределения
- •4.1.4.3. Показатели крутизны распределения
- •4.1.5. Кривые распределения
- •Нормальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Критерии согласия
- •Критерий согласия Пирсона
- •Критерий согласия Романовского
- •Критерий согласия Колмогорова
3.3. Средние величины
Средняя величина – это показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.
При вычислении средних величин должны выполняться следующие условия:
средняя должна вычисляться для качественно однородной совокупности, для получения которой часто необходима группировка данных;
для вычисления средних должны быть использованы массовые данные, в которых погашаются колебания в величине признака, вызванные случайными причинами.
Средняя величина всегда имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.
Наиболее часто применяются следующие виды средних величин:
средняя арифметическая;
средняя гармоническая;
средняя геометрическая;
средняя квадратическая.
Перечисленные средние величины называются простыми или невзвешенными, если каждый вариант в данной совокупности встречается только один раз. Если варианты повторяются различное число раз, то средняя величина называется средней взвешенной, а число повторений вариантов называется частотой или статистическим весом.
Все перечисленные средние величины рассчитываются по формуле средней степенной:
формула средней степенной порядка z используется, если имеются варианты x1z, x2z, …, xnz
формула средней степенной взвешенной используется, если имеются варианты и частоты m1,m2, …,mn
где
– средняя степенная;
–показатель степени, позволяющий определить вид средней;
вариант;
число вариантов;
частота, или статистический вес варианта.
В некоторых случаях частоты отдельных вариантов могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными. Они называются частостями.Частости – это частоты, выраженные в относительных числах (долях или процентах) и рассчитанные путём деления частоты каждого интервала на их общую сумму:
3.3.1. Средняя арифметическая
Средняя арифметическая – наиболее распространённый вид средней. Если вид средней не указывается, то подразумевается средняя арифметическая.
Средняя арифметическая получается, когда в формулу степенной средней подставляется значение z=1.
Средняя арифметическая простая:
Средняя арифметическая взвешенная:
Если совокупность разбита на группы и для каждой группы вычислена средняя арифметическая, то общая средняя для всей совокупности рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной. В качестве вариантов выступают групповые средние, а в качестве веса численность каждой группы.
где
– средняя арифметическая i-й группы;
ni – численность i-й группы.
Пример 2. Определение средней арифметической простой
В результате опроса пяти человек оказалось, что они имеют соответственно 3, 1, 2, 0, 2 домашних животных. Определить среднюю арифметическую.
Средняя арифметическая представленных чисел будет равна:
Получается, что в среднем на одного человека приходится 1,6 домашних животных.
Пример 3. Определение средней арифметической взвешенной
Результаты опроса людей о количестве имеющихся у них домашних животных представлены в первом и втором столбцах Таблицы 2.
Таблица 2. Сведения о количестве домашних животных
Количество домашних животных, шт. xi |
Количество человек, чел. mi |
ximi |
1 |
11 |
11 |
2 |
7 |
14 |
3 |
5 |
5 |
4 |
2 |
8 |
Итого |
25 |
48 |
Вычислить среднее число домашних животных.
Для вычисления средней взвешенной необходимо произвести дополнительные вычисления (ximi). Результаты этих вычислений размещены в третьем столбце таблицы. Затем вычисляется средняя взвешенная:
В результате получается, что на одного человека приходится 1,92 домашних животных.
Пример 4. Вычисление общей средней для совокупности, разбитой на группы
Средний возраст сотрудников четырёх магазинов фирмы 35, 29, 42 и 37 лет. Численность сотрудников в этих магазинах соответственно равна 14, 12, 22 и 19 человек. Определить средний возраст сотрудников фирмы, работающих в магазинах.