4.1.2.6. Виды дисперсий

4.1.2.6.1. Правило сложения дисперсий

Если статистическая совокупность разбита на группы по какому-либо признаку, то вариация признака в целом по совокупности зависит и от

• вариации признака внутри каждой группы,

• межгрупповой вариации (от вариации групповых средних).

Т.е. общую дисперсию можно получить на основе её составляющих. Рассмотрим представленное в общем виде распределение исходной совокупности, представленное в таблице 27. Исходная совокупность делится на mоднородных групп по одному признаку.

Таблица 13. Представленное в общем виде разбиение исходной совокупности на однородные группы

Значение признака xi	Число единиц в j-й группе					Итого
	1	2	…	j
x1	N11	N12	…	N1m	N11+ N12+…+ N1j = n1
x2	N21	N22	…	N2m	N21+ N22+…+ N2j = n2
…	…	…	…	…	…
xk	Nk1	Nk2	…	Nkm	Nk1+ Nk2+…+ Nkj = nk
Итого	N1	N2	…	Nm	N

Среднее значения признака в каждой группе равно:

На основе частных средних определяется общая средняя:

где

Общая дисперсия совокупности() отражает вариацию признака за счёт всех условий (факторов), которые действуют в данной совокупности.

Межгрупповая дисперсия() отражает вариацию между группами за счёт признака-фактора, положенного в основу группировки. Вычисляется межгрупповая дисперсия по отклонениям групповых средних от общей средней.

Частная групповая дисперсия() отражает вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности. Вычисляется как средний квадрат отклонений значений признакаxот частной средней.

и т.д.

Т.е. в общем виде частная дисперсия выражается так:

где

N_ij – частотыi-го признака (i=1÷k) в каждойjгруппе.

Так как рассматриваемая совокупность разбита на группы, то для всей совокупности внутригрупповую вариацию отражает внутригрупповая дисперсия(). Она высчитывается как средняя арифметическая из групповых дисперсий.

Между представленными видами дисперсий существует соотношение: общая дисперсия равна сумме внутригрупповой дисперсии (средней из групповых дисперсий) и межгрупповой дисперсии (дисперсии частных средних):

Это равенство называется правилом сложения дисперсий. Первое слагаемое измеряет вариацию внутри частей совокупности, второе слагаемое – вариацию между средними этих частей.

4.1.2.6.2. Эмпирическое корреляционное отношение

Эмпирический коэффициент детерминации() показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки:

Эмпирическое корреляционное отношение() показывает, как связаны исследуемое явление и группировочный признак.

Эмпирическое корреляционное отношение принимает значение от 0 до 1.

Если и соответственно, то все групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет. Следовательно, группировочный признак не влияет на вариацию признака.

Если и соответственно, то внутригрупповой вариации нет. Следовательно, группировочный признак полностью определяет вариацию изучаемого признака.

Чем больше приближается к 1, тем сильнее корреляционная связь между признаками.

Таблица 14. Качественная оценка связи между признаками

	Связь
0	Отсутствует
0 – 0,2	Очень слабая
0,2 – 0,3	Слабая
0,3 – 0,5	Умеренная
0,5 – 0,7	Заметная
0,7 – 0,9	Тесная
0,9 – 0,99	Весьма тесная
1	Функциональная

Пример 21. Вычисление дисперсии, эмпирического коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

В таблице 29 представлены данные заработных платах сотрудников семи магазинов одной сети. Заработная плата сотрудников зависит от внутренних факторов (стаж работы, должность, образование и т.д.) и внешних факторов (территориальное расположение магазина, и как следствие, различная прибыль).

Рассчитать дисперсию, эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение и на основании полученных данных сделать вывод о влиянии на заработную плату внешних и внутренних факторов.

Таблица 15. Заработные платы сотрудников

Заработная плата, тыс. руб. xi	Число сотрудников на магазинов с номерами m = 1÷j(j=7), чел Nij							Итого
	1	2	3	4	5	6	7
10 – 20	11	6	1	5	23	0	0	46
20 – 30	5	12	45	26	64	13	7	182
30 – 40	7	2	29	4	45	32	12	161
40 – 50	0	4	13	1	15	27	15	75
50 – 60	0	3	2	0	3	18	0	26
Итого	43	47	90	36	150	90	34	490

Решение можно разбить на три этапа.

1. этап. Вычисление дисперсии заработной платы для каждого магазина.

Таблица 16. Вспомогательная таблица для вычисления дисперсии заработной платы первого магазина

Зараб. плата, тыс. руб. xi	Число сотруд- ников, чел mi	Середина интерва- ла, xiср
10 – 20	11	15	165	-11,395	125,349	1428,394
20 – 30	15	25	375	-1,395	20,930	29,205
30 – 40	17	35	595	8,605	146,279	1258,680
40 – 50	0	45	0	18,605	0,000	0,000
50 – 60	0	55	0	28,605	0,000	0,000
Итого	43		1135		292,558	2716,279

Средняя арифметическая:

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия:

2. этап. Сведение полученных данных со всех магазинов в одну таблицу.

…

Таблица 17. Сведение данных о дисперсиях заработных плат всех магазинов в одну таблицу

Номер магазина	Средняя заработная плата, тыс. руб	Число сотрудников, чел	Дисперсия заработной платы
1	26,395	43	63,169
2	32,021	47	101,766
3	31,667	90	66,667
4	25,278	36	36,034
5	29,067	150	86,796
6	40,556	90	93,580
7	37,353	34	59,170

3. этап. Вычисление дисперсии, эмпирического коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Номер магазина
1	1135	-5,605	31,412	1350,721	2716,279
2	1505	0,021	0,000	0,021	4782,979
3	2850	-0,333	0,111	10,000	6000,000
4	910	-6,722	45,188	1626,778	1297,222
5	4360	-2,933	8,604	1290,667	13019,333
6	3650	8,556	73,198	6587,778	8422,222
7	1270	5,353	28,654	974,235	2011,765
Итого	15680			11840,200	38249,800

Средний размер заработной платы по всем магазинам:

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию средней заработной платы по магазинам, обусловленную особенностями данного магазина, т.е. внешними факторами.

Средняя из групповых дисперсий характеризует вариацию заработной платы, обусловленную всеми факторами кроме особенностей данного магазина (стаж работы, должность, образование и т.д.), т.е. внутренними факторами.

Общая дисперсия определяет вариацию средней заработной платы в магазинах, обусловленную влиянием всех факторов.

Эмпирический коэффициент детерминации показывает отношение межгрупповой дисперсии к общей.

Полученный эмпирический коэффициент детерминации показывает, что дисперсия заработной платы зависит от того, в каком магазине сотрудник работает, на 23,6%. А остальные 76,4% зависят от внутренних факторов самих магазинов (стаж работы, должность, образование и т.д.).

Эмпирическое корреляционное отношение

показывает, что существует умеренная связь между территориальным размещением магазина и заработной платой его сотрудников.