f ′′(x0 ).

3.1.10. Производные высших порядков
Определение 3.1.7
Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точках x0 и x0 +					x . Если существует
конечный предел lim	f ′(x0 +	x)− f ′(x0 )		, то он называется	второй производной
		x
x→0

функции y = f (x) в точке x0 и обозначается y′′, или

При этом функция y = f (x) называется дважды дифференцируемой в точке x0 .

Аналогично определяются производные более высокого порядка f ′′′(x0 ), f iv (x0 ), …., f (n)(xo ).

ЗАМЕЧАНИЕ

Из определения производных высших порядков следует, что вторая производная – это производная от первой производной, третья производная – это производная от второй производной, и так далее.

Задача 3.1.11

		′′′			x	в произвольной точке x .
	Вычислить третью производную y		функции	y = ex

Решение

Сначала вычислим первую производную, используя правило дифференцирования частного двух функций:

Упростим это выражение

y′′ = 1 − x ′ex

x

′

1 e x − x e x

y′ =

=

.

(e x )2

e x

y

′

=

ex (1 − x)

=

1 − x

e2x

ex и вычислим вторую производную.

=

(1 − x)′ex −(1 − x) (ex )′

= −ex −(1 − x) ex .

(ex )2

e2x

Полученное выражение можно упростить.

y

′′

−ex (1 +1 − x) −(2 − x)

x − 2

=

=

=

e2x

ex

ex

и вычислить третью производную.

x − 2

′

(x

− 2)′ex −(x − 2) (ex )′

ex −

(x − 2) e x

y′′′ =

=

=

,

(ex )2

e2x

ex

которая после всех возможных упрощений примет вид

y

′′′

=

ex (1 − x + 2)

=

3 − x

e2x

ex .

Задача 3.1.12

Получите выражение производной n – го порядка y(n)

для функции y = ln(x +1).

23

Решение

Получим выражения для производных первого, второго, третьего и четвертого порядков, проводя последовательное дифференцирование заданной функции.

y′ =	1		y′′ = −	1		y′′′ =	1 2		y	IV	= −	1 2 3
		,			,			,					.
	x +1			(x +1)2			(x +1)3					(x +1)4

Из выражений для этих производных ясно, что каждое последующее дифференцирование увеличивает на единицу показатель степени выражения (x +1) в

знаменателе и добавляет в числитель натуральный сомножитель, на единицу больший предыдущего.

Знаки в производных чередуются, причем в производных четного порядка знак минус. Учитывая это, запишем выражение для производной произвольного ( n – го) порядка:

(n)

n−1

1

2 3 (n −1)

y

= (−1)

(x +1)n

.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n называется

« n – факториал» и

обозначается: n!=1 2 3 n .

y = ln(x +1)

Учитывая это обозначение, выражение для n – й производной функции

можно переписать в виде:

(n −1)!

(n)

n−1

y

= (−1)

.

(x +1)n

Задача 3.1.13

Получите выражение производной n – го порядка y(n)

для функции y = cos x .

Решение

Вычислим последовательно y′ = −sin x ,

y′′ = −cos x , y′′′ = sin x ,

yIV

= cos x .

Далее производные будут повторяться при n = n + 4 .

Если использовать формулы

приведения

для вычисления

значений

функции

cos(x + π2n ) при n =1, 2, 3, 4 , то легко убедиться, что они совпадают с производными

первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Следовательно, производную n – го порядка для функции y = cos x можно записать

в виде

y(n) = cos(x +

).

πn

2

Задача 3.1.14

от функции y = y(x),

Вычислить

производную

второго порядка

заданной

параметрическими уравнениями

= t

3

+ 3t

2

+ 4 .

x

y

= sin

2

t

Решение

Вычислим

первую производную

y′x

по

правилу

дифференцирования

функции,

заданной параметрически.

y′x =

(sin 2 t)′t

=

2 sin t cos t

=

sin 2t

.

(t 3 + 3t 2 + 4 )′t

3t 2 + 6t

3t 2 + 6t

24