k

2

= lim

ex +1

= lim

1

= 0 . b

= lim (f (x)− k

2

x)= lim

ex +1

=

1

.

x→−∞ (ex + 4) x

x→+∞ 4 x

2

x→−∞

x→−∞ ex + 4

4

При x → −∞ график функции имеет горизонтальную асимптоту y = 14 . График функции показан на рисунке 3.2.15.

y

1

2

5

1

4

x

Рис. 3.2.15.

3.2.4. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на замкнутом промежутке функции

Функция, непрерывная на замкнутом промежутке принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Эти значения могут достигаться в точках экстремума и острого экстремума, а также на концах промежутка.

у

a x1 0 x	2	x3	b	х

Рис. 3.2.16.

Функция, график которой показан на рисунке 3.2.16, достигает наибольшего значения на левом конце промежутка в точке x = a и наименьшего – в точке минимума x3 .

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x), непрерывной на промежутке [a; b] нужно:

• найти все ее критические точки;

• вычислить значения функции во всех критических точках;

• вычислить значения f (a) и f (b);

• среди полученных чисел найти самое большое и самое маленькое.

Задача 3.2.8

Найдите наибольшее и наименьшее

значения

функции

f

(x)= 1 x2

−3

x2

на

промежутке [−8, 8].

3

Решение

Заданная функция непрерывна на всей числовой оси. Производная функции равна

′

2

2 −13

2

1

2 x 3 x −1

=

3

3

= 3 3

.

f (x)= 3 x − 3 x

x −

x

x

46