Так как ( x )′ = 2 1 x , то угловой коэффициент k2 касательной к графику функции

y = x в точке абсциссой

x

0

=1

равен: k

2

=

1

.

2

k2 − k1

=

1

+1

= 3 ,

Следовательно,

tg ϕ =

2

откуда

следует,

что

угол между

1 + k

k

2

1 −

1

2

кривыми ϕ = arctg 3 .

1

3.1.7. Дифференциал. Формула дифференциала

Определение 3.1.6

Пусть функция

f (x)

дифференцируема в точке x0 ,

принадлежащей ее области

определения и пусть y = f (x0 + x)− f (x0 )

–

приращение функции

в точке x0 .

Линейная относительно приращения аргумента

x часть приращения функции в этой

точке называется ее дифференциалом и обозначается dy .

ЗАМЕЧАНИЕ

Так как приращение

y

функции,

дифференцируемой в точке x0 ,

представимо в виде

y = f ′(x0 )

x + α( x)

x ,

то линейной относительно

x частью приращения функции

является первое слагаемое f ′(x0 )

x .

Из определения следует формула дифференциала: dy = f ′(x0 ) x .

В произвольной точке x формула дифференциала имеет вид:

dy = f ′(x)	x .
Поскольку для функции y = x в любой	′
	точке производная f (x)=1, то

дифференциал для нее совпадает с ее приращением, то есть dy = dx = x . Учитывая это, формулу для дифференциала записывают в виде:

dy = f ′(x) dx .

Из определения и формулы дифференциала следует, что при вычислении дифференциала справедливы правила, аналогичные правилам дифференцирования

Правила дифференцирования

•d(c)≡ 0 , если c = const .

•	d(c f (x))= c d(f (x)), если c = const .

•d (f (x)± g(x))= d (f (x))± d(g(x)).

•d (f (x) g(x))= d (f (x)) g(x)+ f (x) d (g(x)).

			f (x)				d(f (x)) g(x)− f (x) d(g(x))			g(x)≠ 0 .
	•	d				=			, если
							g 2 (x)
		g(x)

Задача 3.1.6

Вычислите дифференциал функции y = cos2 x 1 − x2 в произвольной точке x .

Решение

По правилу вычисления дифференциала произведения двух функций, запишем

18

dy = d(cos

2

x)

1 − x

2

+ cos

2

x

d

1 − x

2

.

Учитывая, что d(cos2 x)= (cos2 x) ′ dx = 2 cos x (−sin x) dx ,

x

2

2 ′

1

2

−

1

2

d

1 − x

= 1 − x

x dx =

2

(1

− x

)

(− 2x) dx ,

Получим

dy = 2cos x (−sin x)

1 − x2 dx +cos2 x

1

(−2x)dx =

2

1−x2

1

= 2cos x

(−sin x)

1 − x2

+cos2 x

(−2x) dx .

1−x2

2

Геометрический смысл дифференциала

Геометрически дифференциал равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке дифференцируемости.

Доказательство

Пусть AB – касательная, проведенная к графику функции в точке x0 . По формуле дифференциала dy = f ′(x0 ) x . Так как f ′(x0 )= tg α, то dy = tg α x . Из треугольника ABK (рис. 3.1.4), видно, что tg α x = BK , где катет BK является приращением ординаты касательной к графику функции. Следовательно, dy = BK .

Рис. 3.1.4.

Инвариантность формулы дифференциала

Формула для дифференциала dy = f ′(x) dx обладает свойством инвариантности, то есть сохраняет свой вид и в том случае, если x не простая переменная, а некоторая функция.

Доказательство

Было доказано, что для дифференциала справедлива формула dy = f ′(x) dx , если x - простая переменная.

Пусть теперь x является функцией другой переменной t . То есть x = x(t), где t - простая переменная. Тогда функция y = f (x) является сложной функцией простой переменной t : y = y(x(t)). По формуле для дифференциала

dy = [y(x(t))]′t dt . 19