Заменяя в последней формуле y = x −1 , получим формулу Тейлора для функции f (x)= ln x в точке x0 =1

ln x = (x −1)− (x −21)2 + (x −31)3 − (x −41)4 +... +(−1)n−1 (x −n1)n +θ(xn ).

Применение формул Тейлора и Маклорена

Задача 3.1.22

Вычислить предел, используя формулу Маклорена

lim	e−x2	−sin(x2 )−cos 2x	.
		x3 sin x
x→0

Решение

Представим следующие функции формулой Маклорена

−x 2

x2

x4

x6

6

e

=1

−

+

−

+ θ(x

),

1!

2!

3!

sin x = x −

x3

+

x5

+ θ(x5 ),

3!

5!

sin x2 = x2 −

x6

+ θ(x6 ),

3!

cos 2x =1 −

4x2 +16x4

− 64x6 + θ(x6 ),

2!

4!

6!

под знаком предела, ограничиваясь при этом членами со степенями не выше, чем x4 . Тогда это выражение можно преобразовать так, чтобы предел легко вычислялся.

e−x2

−sin(x2 )−cos 2x

= lim

1 − x2 +

x4

− x2 −1 + 2x

2 −

2

x4

+ θ(x4 )

=

lim

2

3

x

3

sin x

x

3

(x −

x

3

+ θ(x

4

))

x→0

x→0

6

= lim

x4

−

2 x 4

+ θ(x4 )

= lim

−

x 4

+ θ(x4 )

= −

2

1

3

6

.

x4 + θ(x4 )

x→0

x→0

x4 + θ(x4 )

6

Задача 3.1.23

Вычислить предел, используя формулу Маклорена

lim

cos (sin x)−1 + 0,5x2 + 2x

4

.

x4

x→0

Решение

По формуле Маклорена

sin x

= x −

x3

+ θ(x3 )= x −

x3

+ θ(x3 ),

cos x =1−

x2

+

x4

+θ(x4 ).

6

2!

3!

4!

Подставляя выражение для функции sin x в формулу Маклорена для cos x , получим

cos(sin x)=1 − (x − x63 )2 + (x − x63 )4 + θ(x4 ), или 2! 4!

35