- •5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Часть 1 (8 часов).
- •1. Дифференцирование функций одной переменной
- •1.1. Производная и ее геометрический смысл
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Геометрический смысл производной
- •Доказательство
- •1.2. Дифференцируемая функция
- •Определение 1
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции
- •Доказательство
- •Определение 2
- •1.3. Непрерывность и дифференцируемость функции
- •Теорема
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Определение
- •1.4. Правила дифференцирования
- •Производная функции, тождественно равной постоянной
- •Производная суммы и разности функций
- •Доказательство
- •Производная произведения функций
- •Доказательство
- •Следствие
- •Доказательство
- •Производная частного
- •Доказательство
- •Теорема о производной обратной функции
- •Доказательство
- •Производная сложной функции
- •Доказательство
- •1.5. Производные основных элементарных функций
- •Доказательство
- •Производная экспоненциальной и показательной функций
- •Доказательство
- •Производная логарифмической функции
- •Доказательство
- •Производные тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные гиперболических функций
- •Доказательство
- •1.6. Примеры вычисления производных
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •Пример 4
- •Решение
- •Пример 5
- •Решение
- •1.7. Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми.
- •Уравнение касательной
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Основная
- •Дополнительная
касательной является прямая |
y = x . |
При переходе через точку |
x0 = 0 |
касательная не |
||
меняется непрерывно. |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
y = 3 |
|
y = x |
|
||
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
|
x |
Рис.2. |
|
|
Рис.3. |
|
|
Определение |
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
|||
Если |
|
у |
|
функции |
|
существует |
конечный |
|||
lim |
y |
= |
lim |
f (x0 + |
x)− f (x0 ) |
|
, |
то он называется производной в точке x0 = 0 |
||
x |
|
x |
||||||||
x→+0 |
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|||
справа. |
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
Если |
|
у |
|
функции |
|
существует |
конечный |
|||
lim |
y |
= |
lim |
f (x0 + |
x)− f (x0 ) |
, |
то он называется производной в точке x0 = 0 |
|||
x |
|
x |
||||||||
x→0 |
|
x→−0 |
|
|
|
|
|
слева.
Производные справа и слева называются односторонними производными.
ЗАМЕЧАНИЕ 2
Функция y = |
|
x |
|
дифференцируема справа и слева, |
так |
как существуют и |
конечны |
||||
|
|
||||||||||
односторонние производные. При этом производная справа равна 1, а производная слева |
|||||||||||
равна −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует заметить, что функция |
y = 3 x не является дифференцируемой ни справа, ни |
||||||||||
слева, поскольку ее односторонние производные в точке x0 = 0 бесконечны. |
|
|
|||||||||
|
|
1.4. |
Правила дифференцирования |
|
|
||||||
Производная функции, тождественно равной постоянной |
|
|
|||||||||
Если |
функция |
|
f (x) тождественно равна постоянной, |
то производная |
от нее |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
тождественно равна нулю, то есть, если f (x)≡ c , то f (x)≡ 0 . |
|
|
|||||||||
Доказательство очевидно, |
так как для такой функции в любой точке x |
приращение |
|||||||||
y = f (x + x)− f (x)= c − c ≡ 0 . |
|
|
|
|
|
||||||
Производная суммы и разности функций |
|
|
|
|
|||||||
Если |
функции |
|
|
|
f (x) |
и g(x) |
дифференцируемы |
в |
точке x , |
то |
функции |
y = f (x)± g(x) тоже дифференцируемы в точке x и их производные вычисляются по правилу:
(f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g′(x).
9
Доказательство |
x)± g(x + x))−(f (x)± g(x)) |
|
|
y′=(f (x)± g(x))′ = lim |
(f (x + |
. |
|
|
|
||
x→0 |
x |
Приращение суммы (разности) функций можно представить в виде суммы (разности) приращений каждого слагаемого.
y′= lim |
(f (x + |
x)− f (x))± (g(x + x)− g(x)) |
. |
|
|
|
|||
x→0 |
|
x |
||
Поскольку функции f (x) и |
g(x) |
дифференцируемы в точке x , то можно |
использовать теорему о пределе суммы и разности функций.
y |
′ |
= lim |
f (x + x)− f (x) |
± |
lim |
g(x + x)− g(x) |
′ |
′ |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
x |
= f (x)± g |
(x). |
|||||||
|
|
x→0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
||||
Производная произведения функций |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если функции |
f (x) и g(x) |
дифференцируемы в |
точке |
x , |
то функция |
|||||||
y = f (x) g(x) тоже дифференцируема в точке |
x и ее производная вычисляется по |
правилу:
(f (x) g(x))′ = f ′(x) g(x)+ f (x) g′(x).
Доказательство
Составим приращение y для функции y = f (x) g(x).
y = f (x + x)g(x + x)− f (x)g(x).
Прибавим и вычтем выражение f (x) g(x + x) и сгруппируем слагаемые попарно. y = [f (x + x) g(x + x)− f (x) g(x + x)]+ [f (x) g(x + x)− f (x) g(x)].
Из первой скобки можно вынести общий множитель g(x + x), а из второй – f (x). y = [f (x + x)− f (x)] g(x + x)+ f (x) [g(x + x)− g(x)].
Выражения в скобках представляют собой приращения функций f (x) и g(x), поэтому y = f (x) g(x + x)+ f (x) g(x).
Тогда, используя определение производной, можно записать:
y′ = lim |
y |
= lim |
f (x) g(x + x)+ f (x) |
g(x), или |
|||
x→0 |
x |
x→0 |
|
|
x |
|
|
y′ = |
|
f (x) |
g(x + |
x)+ f (x) |
g(x) |
||
lim |
x |
x |
. |
||||
|
x→0 |
|
|
|
Используя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим:
|
|
y′ = |
lim |
f (x) lim g(x + |
x)+ f (x) lim |
g(x) |
. |
||
|
|
|
|
x→0 |
x |
x→0 |
x→0 |
x |
|
Из дифференцируемости |
функции f (x) |
следует, что |
существует конечный |
||||||
предел lim |
f (x) |
= |
′ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
f (x). |
|
|
|
|
|
||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из дифференцируемости функции g(x) следует, что существует конечный предел
lim g(x)= g′(x).
x→0 x
10
Так как дифференцируемая в точке x функция g(x) непрерывна в этой точке, то по
определению непрерывной функции lim |
g(x + |
x)= g(x). Следовательно, |
||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
′ |
′ |
′ |
|
′ |
|
y |
= (f (x) g(x)) = |
g(x)+ |
||||
|
f (x) |
f (x) g (x) |
||||
Следствие |
|
|
|
|
|
|
Если функция f (x) |
дифференцируема в точке x , |
а c - конечное число, то функция |
y = cf (x) тоже дифференцируема в точке x и при этом
(c f (x))′ = c f ′(x).
Доказательство
(c f (x))′ = с′ f (x)+c f ′(x)= c f ′(x).
Производная частного
Если функции f (x) и g(x) дифференцируемы в точке x и g(x)≠ 0 , то функция
y = |
f (x) |
тоже дифференцируема в точке x |
и ее производная вычисляется по правилу: |
|||||||
g(x) |
|
|||||||||
|
|
|
|
′ |
|
′ |
′ |
|||
|
|
|
|
f (x) |
|
|
= |
f (x) g(x)− f (x) g (x) |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
g(x) |
|
|
|
g 2 (x) |
Доказательство
Составим приращение |
y для функции y = |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y = |
f (x + x) |
|
f (x) |
f (x + x) g(x)− f (x) g(x + x) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
− |
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
g(x + x) |
g(x) |
|
g(x + x) g(x) |
|
|
|
|
|||||||||||||
Прибавим и вычтем в числителе выражение |
f (x) g(x) |
и |
сгруппируем |
слагаемые |
||||||||||||||||
попарно. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
f (x + x)g(x)− f (x)g(x)− f (x)g(x + x)+ f (x)g(x) |
= |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x + x) g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
[f (x + x)g(x)− f (x)g(x)]−[f (x)g(x + x)− f (x)g(x)] |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g(x + x) g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из первой скобки можно вынести общий множитель g(x), а из второй – |
f (x). Тогда |
|||||||||||||||||||
приращение y запишется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y = [f (x + |
x)− f (x)] g(x)− f (x) [g(x + x)− g(x)], или |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g(x + x) g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y = |
|
f (x) g(x)− f (x) g(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) g(x + x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Используя определение, запишем выражение для производной в виде |
|
|||||||||||||||||||
|
|
y′= lim |
y |
= lim |
|
f (x) g(x)− f (x) |
|
g(x) |
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
g(x) g(x + x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x→0 x |
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
затем, проведя под знаком предела тождественные преобразования и учитывая, что |
|
g(x) |
не зависит от переменной x , преобразуем его |
|
11 |
|
|
|
|
y′ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
f (x) |
|
(x)− |
f (x) |
g |
(x) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 g(x + |
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Так как f (x) и g(x) не зависят от переменной |
|
x , то по теоремам о пределах получим |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y′ |
= |
1 |
|
|
lim |
|
1 |
|
|
lim |
f (x) |
|
g(x)− f (x) lim |
|
g(x) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
g(x) |
|
+ |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 g(x |
x) |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
||||||||||||||
Из |
дифференцируемости |
f (x) |
следует, |
|
|
что |
существует |
|
|
конечный предел |
||||||||||||||||||||||
lim |
f (x) = |
|
f ′(x). |
Из |
дифференцируемости |
(и непрерывности) |
|
g(x) |
следует, что |
|||||||||||||||||||||||
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
существуют конечные пределы |
lim |
= g |
′ |
|
|
lim |
g(x + x)= g(x). Поэтому |
|||||||||||||||||||||||||
x |
|
(x) и |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|||
|
y′ = |
|
|
|
|
(f |
′(x) g(x)− f |
(x) g′(x)), или |
y′ = |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
g(x) |
g(x) |
|
|
|
|
g 2 (x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Теорема о производной обратной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Если функция y(x) |
монотонна на промежутке |
(a; b) |
и дифференцируема в точке |
x (a; b), то существует обратная функция x = x(y), которая дифференцируема в точке
yи ее производная определяется из соотношения
x′y = 1′ . yx
Доказательство
Функция x(y) дифференцируема в точке y , если существует конечный предел
x′y |
= lim |
x . |
|
y→0 |
y |
Докажем это. Поскольку по условию существует конечный предел lim |
y |
′ |
|||||||||||||||||||||
x |
= y (x), |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|||
причем в силу монотонности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
(x)≠ 0 , то по теореме о пределе частного существует и |
||||||||||||||||||||||
конечен предел lim |
|
1 |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
y |
′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из дифференцируемости функции y(x) |
в точке x следует ее непрерывность в этой |
||||||||||||||||||||||
точке, а это означает, что при |
|
|
|
x → 0 приращение функции y → 0 . Учитывая это, |
|||||||||||||||||||
можно от предела при |
|
x → 0 перейти к пределу при |
|
y →0. Тогда |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
x |
′ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
= lim |
|
|
= x (y). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
y→0 |
|
y→0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, существует конечная производная x′y , которая вычисляется по правилу:
x′y |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y′x |
|
|
|
|
Производная сложной функции |
|
|
|
|
|
|
Если функция u(x) дифференцируема в точке |
x и |
функция |
y = f (u) |
|||
дифференцируема в точке u =u(x), то |
суперпозиция |
функций |
(сложная |
функция) |
||
|
12 |
|
|
|
|