y = f (u(x)) дифференцируема в точке x и ее производная по переменной x вычисляется по правилу:

y′x = fu′ u′x .

при этом нижние индексы показывают, по какой переменной берется производная.

Доказательство

y′x

= lim

f (u)

.

x

x→0

u ≠ 0 ,

Умножим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на приращение

получим

f (u)

f (u)

y′x = lim

u

lim

lim

u

.

u

=

u

x

x→0

x

x→0

x→0

Так как функция u(x) дифференцируема точке

x , следовательно, она в этой точке

непрерывна. Поэтому приращение функции

u → 0

при

x → 0 . Переходя в первом

сомножителе от предела при

x → 0 к пределу при

u → 0 , получим

y′x

=

lim

f (u) lim

u .

u

→0

u

x→0

x

Из дифференцируемости функций

f (u)

и u(x) следует,

что оба предела существуют,

конечны и равны производным

по

переменным

u и

x соответственно,

то есть

y′x = fu′ u′x .

ЗАМЕЧАНИЕ

Правило дифференцирования суперпозиции функций (сложной функции) следует понимать

так, что если требуется вычислить производную от функции	y =sin 2 x , то следует иметь в
виду, что вычисляется производная суперпозиции функций	y = u2 , где u = sin x . Тогда

следует вычислить производную yu′ = (u2 )′u = 2u и производную u′x = (sin x)′x = cos x . Далее по правилу дифференцирования сложной функции

y′= 2u cos x = 2 sin x cos x .

Из доказанных теорем данного параграфа можно сформулировать следующие правила дифференцирования:

1.(c)′ = 0 .

2.(f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g′(x).

3.(f (x) g(x))′ = f ′(x) g(x)+ f (x) g′(x).

4.(c f (x))′ = c f ′(x).

		f (x)		′	f	′	′
						(x) g(x)− f (x) g (x)
5.				=					.
							g 2 (x)
	g(x)

6. y′x = (f (u(x)))′x = fu′ u′x .

1.5. Производные основных элементарных функций

Используя теоремы предыдущего параграфа, можно получить формулы для вычисления производных основных элементарных функций.

13

Производная степенной функции

						.
	(xα )′ = αxα−1
Доказательство
y′ = (xα )′ = lim		y	=	lim	(x +		x)α − xα	.
		x
x→0				x→0			x

В числителе дроби под знаком предела можно вынести за скобку, а затем и за знак

предела множитель xα , который не зависит от переменной x . Тогда для производной получим выражение

′

xα

(1 +

x

)α −1

(1 +

x

)α

−1

x

y′ = (xα )

= lim

= xα

lim

x

.

x

x

x→0

x→0

Поскольку функция

x

является

бесконечно

малой

при

x → 0 ,

то по таблице

x

эквивалентных бесконечно малых справедливо

x α

−1 ~

α

x

.

1 +

x

x

x→0

Заменяя под знаком предела бесконечно малую

+

x α

−1

на эквивалентную ей

1

x

бесконечно малую α

x , получим

x

y′ = (xα )′ = xα

lim

α xx

= xα α = α xα−1 .

x→0

x

x

Производная экспоненциальной и показательной функций

.

(ex )′ = ex ; (a x )′ = a x ln a

Доказательство

y′ = (e x )′ =

lim

y =

lim

e x+

x −e x

.

x→0

x

x→0

x

В числителе дроби под знаком предела можно вынести за скобку, а затем и за знак

предела множитель ex , который не зависит от переменной x . Тогда для производной получим выражение

y′ = (ex )′ = lim

e x e x −ex

= lim

e x (e x −1)

= ex

lim

e x −1

.

x→0

x

x→0

x

x→0

x

По таблице эквивалентных

бесконечно малых

e x −1

~

x .

Заменяя

под знаком

x→0

предела бесконечно малую функцию e

x −1 на эквивалентную ей бесконечно малую

x , получим

y′ = (ex )′

= ex lim

x = ex .

x→0

x

a > 0

a ≠1

Для показательной функции с любым основанием

и

производная

вычисляется по правилу:

14

(a x )′ = a x ln a ,

поскольку по основному

логарифмическому

тождеству a = eln a ,

то (a x )′ = (ex ln a )′.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

(a x )′ = (ex ln a )′ = ex ln a (x ln a)′ = a x ln a .

Производная логарифмической функции

(ln x)′ =

1

;

(loga x)′ =

1

.

x ln a

x

Доказательство

Для функции y = ln x

определена обратная функция x = e y .

Используя правило

дифференцирования обратной функции, получим

(ln x) ′ =

1

=

1

= 1 .

x

(e y )′y e y

x

Правило дифференцирования логарифмической функции с произвольным

основанием

a > 0

и

a ≠1 ,

можно

вывести,

используя

свойства

логарифма

loga x =

ln x

. Тогда

ln a

′

ln x ′

1

′

1

1

′

1

(loga x)

=

=

(ln x) =

;

(loga x)

=

.

ln a

ln a

x

x ln a

ln a

Производные тригонометрических функций

′

′

′

1

′

1

(sin x) = cos x;

(cos x) = −sin x;

(tg x)

=

;

(ctg x)

= −

,.

cos2 x

sin 2 x

Доказательство

По

определению

производной

y′ = (sin x)′ = lim

y .

Представив

приращение

y = sin(x +

x)−sin x

x→0

x

функции

по

формуле

преобразования

разности синусов в

произведение в виде

y = 2 sin

x

cos(x +

x

), получим следующее выражение для

2

2

производной

cos(x +

)

′

2sin

x

x

2

2

(sin x)

=

lim

.

x

x→0

Используя

таблицу

эквивалентных

бесконечно

малых

функций,

по

которой

sin

x

~

x

, заменим под знаком предела бесконечно малую

sin

x

на бесконечно

2

x→0

2

2

малую

x

.

2

cos(x +

)

(sin x)′ = lim

2

x

x

=

lim cos(x +

x

).

2

2

x

2

x→0

x→0

Из непрерывности функции cos x следует, что

lim cos(x +

x

)= cos x . Значит,

x→0	2
(sin x)′ = cos x .
15

Чтобы доказать, что	(cos x)′ = −sin x , представим cos x = sin(	π	− x) по формуле
	2

приведения, а затем вычислим производную полученной функции, используя правило дифференцирования сложной функции.

(cos x)′ = (sin(π2 − x))′x = cos(π2 − x) (π2 − x)′x = cos(π2 − x) (−1)= −sin x .

Теперь вычислим производную для функции y = tg x . Поскольку tg x = cossin xx , то можно использовать правило дифференцирования частного двух функций.

′

sin x ′

(sin x)′ cos x −sin x (cos x)′

(tg x)

=

=

=

cos2 x

cos x

=

cos x cos x −sin x (−sin x)

=

cos2 x +sin 2 x

.

cos2 x

cos2 x

Используя основное тригонометрическое тождество sin 2 x +cos2 x =1, получим

′

1

(tg x)

=

.

cos2 x

Выражение для производной функции

y = ctg x можно получить,

используя основное

тригонометрическое

тождество

tg x ctg x =1 и

выразив

из него

функцию

ctg x по

формуле

ctg x =

1

= (tg x)−1 .

Теперь

можно

использовать

правило

tg x

дифференцирования сложной функции.

(ctg x)′

= −(tg x)−2

= ((tg x)−1 )′ = −1 (tg x)−2 (tg x)′ =

	1	= −	cos2	x		1	= −	1		.
	cos2 x		sin 2 x			cos2 x		sin 2
									x

Производные обратных тригонометрических функций

(arcsin x)′ =

1

;

(arccos x)′ = −

1

.

1 − x2

1 − x2

′

1

′

1

(arctg x) =

; (arc ctg x)

= −

.

1 + x2

1 + x2

Доказательство

x [−1; 1]

Функция

y = arcsin x

определена

на

промежутке

и ее значения

принадлежат

промежутку

y [−

π

;

π

].

Обратная

функция x = sin y

определена на

2

2

промежутке

y [−

π

;

π

]. По правилу дифференцирования обратной функции, вычислим

2

2

производную для функции y = arcsin x .

(arcsin x)′ = y′x =

1

=

1

=

1

.

x′y

cos y

(sin y)′y

Функцию cos y можно выразить через функцию sin y из основного тригонометрического тождества sin 2 y + cos2 y =1 .

cos y = ± 1 −sin2 y .

16