Поскольку

y [−

π

;

π

],

что

соответствует

первой

и

четвертой

четвертям

2

2

тригонометрического

круга,

то

cos y ≥ 0 . Следовательно, cos y =

1 −sin 2 y ,

где

sin y = x . Тогда для производной для функции y = arcsin x справедливо равенство:

(arcsin x)′ =

1

=

1

.

1 −sin 2 y

1 − x2

Для вычисления

производной

от

функции y = arccos x

используем

соотношение

arcsin x + arccos x =

π

и

выразим

из

него

arccos x =

π

− arcsin x .

Долее можно

2

2

использовать правило дифференцирования разности двух функций.

(arccos x)′ = (

π

−arcsin x)′

= (

π

)′ −(arcsin x)′ = 0 −

1

= −

1

.

2

2

1 − x2

1 − x2

Функция

y = arctg x задана на промежутке x (−∞; ∞) и ее значения принадлежат

промежутку

y (−

π

,

π

). На промежутке

y (−

π

,

π

) определена обратная функция

2

2

2

x = tg y .

2

Для

вычисления

ее

производной

можно

использовать

правило

дифференцирования обратной функции.

′

1

1

1

2

y′x

= (arctg x)x

=

=

=

= cos

y .

(tg y)′y

1cos2 y

x′y

Из основного

тригонометрического

тождества

1 + tg 2 y =

1

следует,

что

2

y

cos

cos2 y =

1

. Следовательно,

(arctg x)x′ = cos

2 y =

1

=

1

.

+ tg2

+ tg2

1

y

1

y 1 + x2

Для вычисления производной от функции

y = arcctg x

используем

соотношение

arctg x + arcctg x =

π

и выразим из него arcctg x =

π

− arctg x . Долее можно использовать

2

2

правило дифференцирования разности двух функций.

(arcctg x)′ = (

π

−arctg x)′

= (

π

)′

−(arctg x)′ = 0 −

1

= −

1

.

1

+ x2

+ x2

2

2

1

Производные гиперболических функций

Гиперболическими называются следующие функции:

sh x =

ex

−e−x

– гиперболический синус;

ch x =

ex +e−x

– гиперболический косинус;

2

2

th x =

sh x

– гиперболический тангенс; cth x =

ch x

– гиперболический котангенс.

ch x

sh x

Для гиперболических функций справедливы соотношения:

ch 2 x −sh 2 x =1; ch 2 x +sh 2 x = ch 2x; 2 sh x ch x = sh 2x ;

th x cth x =1;

1 + th 2 x =

1

;

1 + cth 2 x =

1

.

ch 2 x

sh 2

x

Для производных гиперболических функций справедливы соотношения:

′	′	′	1			′	1
(sh x) = ch x;	(ch x) = sh x;	(th x)	=		;	(cth x)	= −			.
				ch 2 x				sh 2 x
		17