Пример 5

		x	ctg x
Вычислить производную функции	y =			.
	arcsin 2x

Решение

Заданная функция называется показательно-степенной. Прежде чем вычислять ее производную, запишем эту функцию, используя основное логарифмическое тождество y = eln y . Получим

	x ctg x
ln
y = e arcsin 2x			.

Вынося показатель степени за знак логарифма, и раскрывая логарифм частного, полученное выражение можно записать в виде: y = ectg x (ln x−ln arcsin x).

Тогда, дифференцируя его по правилу дифференцирования сложной функции, получим

y′ = ectg x (ln x−ln arcsin x) (ctg x (ln x −ln arcsin x))′ =
= ectg x (ln x−ln arcsin x) [(ctg x)′ (ln x −ln arcsin x)+ ctg x (ln x −ln arcsin x)′]=
	1			1		1
= ectg x (ln x−ln arcsin x) −		(ln x −ln arcsin x)+ ctg x 1	−					.
	sin 2 x			arcsin x
		x				1 − x	2

1.7. Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми.

Уравнение касательной

Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 , то уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x0 имеет вид

y = f ′(x0 ) (x − x0 )+ f (x0 ).

Доказательство

Было доказано, что производная дифференцируемой в точке x0 функции y = f (x) равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0 . Следовательно, если записать уравнение касательной в виде y = kx +b ,

то k = f ′(x0 ). Тогда уравнение примет вид

y = f ′(x0 ) x +b .

Параметр	b определим, учитывая, что касательная проходит через точку	(x0 , f (x0 )).
Подставив в уравнение касательной x = x0 , y = f (x0 ), получим
	f (x0 )= f ′(x0 ) x0 +b .
Из этого	соотношения следует, что b = f (x0 )− f ′(x0 ) x0 и уравнение	касательной

примет вид:

y = f ′(x0 ) (x − x0 )+ f (x0 ).

21

Пример 1

Напишите уравнение касательной к графику функции y = ex в точке с абсциссой

x0 = 0 .

Решение

Уравнение касательной запишем в виде:

y = f ′(x0 ) (x − x0 )+ f (x0 ).

Поскольку

f ′(x)= (ex )′

= ex ,

f ′(x0 )= e0 =1,

f (x0 )=e0 =1 ,

то касательная к

графику

заданной функции в точке x0 = 0 задается уравнением y = x +1.

Пример 2

Найдите угол между кривыми y =

1

и y =

x

в точке их пересечения.

x

Решение

Углом между кривыми, пересекающимися в точке с абсциссой

x0 ,

называется угол

между

их

касательными,

проведенными

в

этой

точке. Поскольку

уравнение

1 =

x

x

имеет один корень x0 =1 , то кривые пересекаются в точке с абсциссой x0 =1 .

Напомним,

что угол

между

прямыми,

заданными уравнениями

y = k1x +b1

и

y = k2 x + b2 , определяется по формуле

tg ϕ =

k2 −k1

.

1

+ k k

2

1

1

′

1

Так как

= −

,

то угловой коэффициент

k1

касательной к графику функции

x2

x

y =

1

в точке абсциссой x

0

=1 равен:

k

= −1 .

x

( x )′ =

1

Так как

1

x

,

то угловой коэффициент

k2

касательной к графику функции

2

y =

x в точке абсциссой

x

0

=1

равен: k

2

=

1

.

2

k2 − k1

1

+1

Следовательно,

tg ϕ =

=

2

= 3 ,

откуда

следует, что угол

между

1

+ k

k

2

1 −

1

2

1

кривыми ϕ = arctg 3 .

4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ

1.Как определяется производная функции f (x) в точке x0 ?

2.Как характеризует график функции y = f (x) число f ′(x0 ) - значение производной этой функции в точке x0 ?

3.Какая функция f (x) называется дифференцируемой в точке x0 ?

4.Является ли дифференцируемая в точке x0 функция непрерывной в этой точке?

5.Всегда ли непрерывная в точке x0 функция дифференцируема в этой точке?

22

6.Задана функция y = f (x). Как выяснить будет ли она дифференцируемой в некоторой точке?

7.Может ли функция y = f (x)+ g(x) быть не дифференцируемой в некоторой точке из

ееобласти определения, если функции f (x) и g(x) являются

дифференцируемыми в этой точке?

8.По какому правилу вычисляется производная суммы двух функций?

9.Пусть функции f (x) и g(x) являются дифференцируемыми в некоторой точке.

Будет ли функция y = f (x) g(x) дифференцируемой в этой точке и по какому правилу вычисляется ее производная?

10.Пусть функции f (x) и g(x) являются дифференцируемыми в некоторой точке.

Всегда ли дифференцируема в этой точке функция y = gf ((xx)) и по какому правилу вычисляется ее производная?

11.Какая функция называется суперпозицией (сложной функцией) нескольких элементарных функций и по какому правилу она дифференцируется?

12.По какому правилу вычисляется производная для степенной функции y = xn ?

13.	По какому правилу вычисляется производная для показательной функции	y = a x и
	экспоненты y = e x ?
14.	По какому правилу вычисляется производная для логарифмической функции y = ln x
	и y = loga x ?
15.	Как выглядят правила вычисления производных тригонометрических	функций
	y = sin x , y = cos x , y = tg x и y = ctg x ?
16.	Как выглядят правила вычисления производных обратных тригонометрических
	функций y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x и y = arcctg x ?
17.	Как выглядят правила вычисления производных гиперболических функций	y =sh x ,
	y = ch x , y = th x и y = cth x ?

5.ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1.Определение производной и ее геометрический смысл.

2.Определение функции, дифференцируемой в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

3.Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.

4.Производная функции, тождественно равной постоянной. Производная суммы и разности функций.

5.Производная произведения функций.

6.Производная частного функций.

7.Производная суперпозиции функций и производная обратной функции.

8.Производная степенной функции, экспоненты и показательной функции.

9.Производная логарифмической функции.

10.Производные тригонометрических функций.

11.Производные обратных тригонометрических функций.

12.Производные гиперболических функций.

6.ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

23

5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Часть 1 (8 часов).

24. Вычисление производных с использованием таблицы производных и основных правил дифференцирования (2 часа).

Л.5: 466 (12,16), 469, 471 (6,7), 472, 500. 501, 517, 519, 521, 548, 549, 559, 560, 580, 581, 603, 607, 609, 612, 643.

25. Вычисление производных суперпозиций функций (2 часа).

Л.5: 526, 529, 545, 584, 587, 671,676, 702, 710, 722, 739, 748, 750, 752, 762.

26. Вычисление производных сложно-показательных функций (2 часа).

Л.5: 650, 651, 652, 653, 658, 659, 661. 663, 664, 665, 766, 758, 759.

27.Заключительное занятие (2 часа).

7. Тест по теме 5 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ». Часть 1.

1.Является ли функция y = x3 дифференцируемой при всех значениях x ? Укажите

номер верного ответа в таблице 4.

Таблица 4

1

2

Не дифференцируема при x = 0

Да

2.

При каких значениях x

функция

y = e3 x+2 не является дифференцируемой?

Укажите номер верного ответа в таблице 5.

Таблица 5

1

2

3

4

x = 0

x = 2

x = −2

x > 2

3.

Вычислите производную

y′

функции

y =

cos3x2

и укажите номер верного ответа

в таблице 6.

Таблица 6

1

2

3

sin 3x

2

6x

sin 6x

−

sin 3x

2

6x

2 cos 3x2

2 cos 3x2

2

cos 3x2

4.

Вычислите производную y′

функции y = 2−сtg x

x и укажите номер верного ответа

в таблице 7.

Таблица 7

1

2

3

2−ctg x (lnsin22 xx

+

1

)

2−ctg x (lncos2 2 xx

+

1

)

2−ctg x (−sinln 22 xx

+

1

)

2

x

2

x

2

x

5.Вычислите производную y′ функции y = cosln xx и укажите номер верного ответа в

таблице 8.

		Таблица 8.
1	2	3

−sin x ln x−cos x

1

sin x ln x−cos x

1

sin x ln x+cos x

1

x

x

x

ln2 x

ln2 x

ln 2 x

6. Вычислите производную

y′ для функции y = x5x

и укажите номер верного ответа в

таблице 9.

24

		Таблица 9
1	2	3
5x x5x −1	5x x5x −1 ln 5	x5x 5x (ln 5 ln x +	1	)
			x

7.Для какой функции производная имеет вид y′ = 2 x5 ? Укажите номер верного ответа

втаблице 10.

Таблица 10

1

2

3

4

y =12x6 +1

y =10x4

y = 1 x6 + 2

y =

1

x6

3

6

8.

Найдите уравнение

касательной к графику

функции y = tg 2x

в

точке

x0 = 0 ?

Укажите номер верного ответа в таблице 11.

Таблица 11

1

2

3

4

y = x

y = 2x

y = 2x +1

y = x +1

9.

Для какой функции

y = −x +3 – уравнение касательной в точке

x0 =1 ? Укажите

номер верного ответа в таблице 12.

Таблица 12

1

2

3

4

y = −2 x

y = 2 x

y =

2

y = −

2

x

x

10. Какой угол образует

касательная к графику непрерывной в точке x0

функции, если ее

производная в этой точке бесконечна? Укажите номер верного ответа в таблице 13.

Таблица 13

1

2

3

4

ϕ = 0o

ϕ = 45o

ϕ = 90o

угол не определен

11. Касательная к какой из функций образует

угол

ϕ = 45o с

осью

Ox

в

точке с

абсциссой x0 = 0 ? Укажите номер верного ответа в таблице 14.

Таблица 14

1

2

3

4

y = 2 x

y =

3x

y = cos x

y = −sin x

ln 3

y =

x +1

2

x = 2

12. Найдите значение производной функции

в точке

и укажите номер

x −1

верного ответа в таблице 15.

Таблица 15

1

2

3

4

–6

0

12

–12

13. Найдите значение производной функции

y = arcsin2

5x в точке

x = 0,1 и укажите

номер верного ответа в таблице 16.

Таблица 16

1

2

3

4

π

2.5

5π

2,5π

25