Методические рекомендации

В7.5. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами а = 375 г, σ = 25 г. Найти вероятность того, что вес одной пойманной рыбы будет: а) от 300 до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.

В7.6. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу

(10; 50).

В 7.7. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение из интервала

(12; 14).

В 7.8. Пусть диаметр изготовленной в цеху детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: а = 4,5 см и σ = 0,05 см. Найти вероятность того, что размер диаметра взятой наугад детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм.

В7.9. Случайная величина Х нормально распределена. Ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны соответственно 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 3.

В7.10. Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 стоит ожидать значение случайной величины.

93

Тема 8 Оценивание параметров и проверка статистических гипотез

в случае выборок малого объема

Решение типового примера

С целью сравнения качественных и количественных показателей двух однотипных производственных процессов A и B про-

ведены выборки (x1, x2, …, xn) и (y1, y2, …, yn) объемов nx и ny соответственно.

1.Для каждой выборки оценить математическое ожидание a

идисперсию σ 2 путем: а) вычисления выборочных средних x и

y , исправленных выборочных дисперсий sx2 и sy2 ; б) построения доверительных интервалов для математических ожиданий ax и aу и дисперсий σ2x и σ2y с надежностью γ = 0,95.

2. Допуская, что выборки (x1, x2, … , xn) и (y1, y2, … , yn) осуществлены из нормально распределенных генеральных сово-

купностей X и Y с параметрами (ax, σx) и (ay, σy) соответственно, при уровне значимости α = 0,05: а) пользуясь критерием Фише-

ра, проверить гипотезу σ2x = σ2y и установить, является ли один

из производственных процессов эффективнее другого; б) пользуясь критерием Стьюдента, проверить гипотезу ax = aу и установить, можно ли считать распределение между средними x и y случайным, или оно является существенным и связано с

различием производственных процессов.

В таблице приведены показатели производительности труда рабочего, изготавливающего на станке детали до (режим работы A) и после (режим работы B) усовершенствования обработки деталей.

Режим			Количество деталей за смену
работы
А	42	43	38	40	43	38	40	41	39	42
В	42	43	44	42	44	43	40	42	41

Проведем количественное и качественное сравнение производительности труда рабочего для режимов работы А и В.

94

1 Оценивание неизвестных математических ожиданий и

дисперсий

Точечной оценкой математического ожидания а генеральной совокупности является выборочная средняя. Выборочные средние x и y вычисляются по формулам:

1

nx

1

n y

=

∑ xi ,

=

∑ y j .

x

y

ny

nx i =1

j =1

Часто удобно пользоваться формулами

1

nx

1

n y

= xmin

+

∑(xi

− xmin ),

= ymin +

∑( yi − ymin ) .

x

y

ny

nx i =1

i =1

Вданном случае имеем

x= 38 + (4 + 5 + 0 + 2 + 5 + 0 + 2 + 3 + 1 + 4) /10 = 40,60,

y = 40 + (2 + 3 + 4 + 2 + 4 + 3 + 0 + 2 + 1) / 9 = 42,33.

Несмещенной оценкой дисперсии σ2 генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия s2. Значения

sx2 и s2y будем находить по формулам:

1

1

sx2 =

(∑ xi2

− nx x 2 ), s 2y

=

(∑ y 2j

− n y y 2 ).

nx − 1

n y − 1

Поскольку при уменьшении всех данных выборки на одно и то же число значение дисперсии не изменяется, то уменьшая данные первой выборки на 38, а второй выборки на 40, находим

sx2 =	1		(42 + 52 + 02 + 22 + 52 + 02 + 22 + 32 +12 + 42 -10×2,602 )= 3,600,
9			(22 + 32 + 42 + 22 + 42 + 32 + 02 + 22 +12 - 9 ×2,332 )= 1,752.
s2y =	1

8

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно

sx = 3,600 = 1,897 , sy = 1,752 = 1,323 .

Для нахождения доверительного интервала математического ожидания а генеральной совокупности необходимо представить а в виде

a = aˆ ± δ ,

95

где aˆ – точечная оценка а (среднее выборки); δ – точность оценки. Если выборка малого объема n, то точность оценки δ определяется формулой

δ =

s

t

.

кр

n

Здесь

s

– выборочное среднее

квадратическое отклонение;

tкр –

квантиль распределения Стьюдента (приложение Г), вычислен-

ный при уровне значимости α = 1 – γ и k = n – 1 степеней свободы.

Для старого режима работы А имеем:

= 40,60 ,

sx

= 1,897 ,

nx = 10 ,

x

tкр

= 2,262 (α = 0,05, k = 9) ,

δ x

=

1,897

× 2,262 = 1,36 .

10

Для нового режима работы В:

= 42,33 ,

s y

= 1,323 ,

n y = 9 ,

y

tкр

= 2,306 (a = 0,05, k = 8) ,

d y

=

1,323

× 2,306 = 1,02 .

9

Следовательно, с надежностью γ = 0,95

ax = 40,60 ± 1,36 ,

ay

= 42,33 ± 1,02 ,

т.е. доверительные интервалы для неизвестных математических ожиданий имеют вид ax [39,24; 41,96] , ay [41,31; 43,35].

Это означает, что с надежностью 95% при старом режиме обработки деталей рабочий мог изготавливать 40 или 41 деталей за смену. При новом режиме обработки деталей с надежностью 95% он может изготавливать уже 42 или 43 детали за смену. Видим, что произошло качественное изменение производительности труда.

Найдем теперь доверительные интервалы для генеральных дисперсий σ2x и σ2y . Для дисперсии σ2, генеральной совокупности доверительный интервал имеет вид

	(n − 1) s 2	≤ σ 2 ≤	(n − 1)s 2	.
	χ12− α		χ α2
Здесь n – объем выборки; s2 –		оценка дисперсии σ2; c12− α и χα2 –

квантили распределения Пирсона (приложение Д), вычисленные при уровне значимости α и числе степеней свободы k = n – 1.

96

Для старого режима работы А:

nx

= 10 ,

sx2 = 3,600 ,

c02,95 = 16,92 ,

c02,05 = 3,33 (a = 0,05, k = 9),

9 ×3,600

£ σ x2 £

9 ×3,600

, т. е. 1,91 £ σ x2 £ 9,37.

16,92

3,33

Для нового режима работы В:

n y

= 9 ,

s y2 = 1,752 ,

χ 02,95 = 15,51 ,

χ 02,05 = 2,73 (α = 0,05, k = 8),

8 ×1,752

£ σ y2 £

8 ×1,752

, т. е. 0,90 £ σ y2 £ 5,13.

15,51

2,73

Как видим, доверительные интервалы для генеральных дис-

персий σ x2 и σ y2 пересекаются. Поэтому с надежностью 95% у нас нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве дисперсий (σ x2 = σ y2 ). Это означает, что усовершенствование обработки деталей не приводит к повышению эффективности обработки.

2 Проверка статистических гипотез о равенстве мате- матических ожиданий и дисперсий

Эффективность производственного процесса зависит от порождаемой им дисперсии, характеризующей разброс в данных. Таким образом, для определения эффективности нового режима работы, связанного с усовершенствованием обработки деталей,

необходимо сравнить генеральные дисперсии σ x2 и σ y2 по данным выборок производительности труда.

При сравнении двух дисперсий σ x2 и σ y2 выдвигают нулевую гипотезу Н0: σ x2 = σ y2 ; при конкурирующей Н1: σ x2 ≠ σ y2 . Если, по смыслу задачи, большей выборочной дисперсии ( sx2 > sy2 ) заведомо не может соответствовать меньшая генеральная дисперсия, т.е. неравенство σ x2 < σ y2 заведомо невозможно, то конкурирующая гипотеза приобретает вид Н1: σ x2 > σ y2 . В этом случае

для проверки альтернативной гипотезы Н1 используется односторонний критерий Фишера

97

s x2		> F	(s 2	> s 2 ) .
s
	2	кр	x	y
	y

Здесь Fкр – критическое значение распределения Фишера (приложение Е), вычисленное при уровне значимости α и числах степеней свободы k1 = nx–1 и k2 = ny–1. Если указанное неравенство выполняется, мы склоняемся в пользу гипотезы

Н1: s2x > s2y , в противном случае, у нас нет основания отвергнуть нулевую гипотезу Н0: s2x = s2y .

В данном случае sx2 = 3,600, sy2 = 1,752,	sx2	=	3,600	= 2,06 . Из
	sy2
		1,752

приложения Е при α = 0,05, k1 = 9 и k2 = 8 находим Fкр = 3,39. Так как 2,06 < 3,39, то мы не можем отвергнуть нулевую гипоте-

зу и считаем равными генеральные дисперсии s2x и s2y . Это оз-

начает, что усовершенствование обработки деталей, в данном случае, не является эффективным.

При сравнении двух математических ожиданий ax и aу выдвигают нулевую гипотезу Н0 : ax = aу, при конкурирующей гипотезе Н1 : ax ≠ aу. Методика проверки альтернативной гипотезы

Н1 зависит от соотношения генеральных дисперсий s2x и s2y . Ранее при сравнении двух дисперсий s2x и s2y нами было ус-

тановлено, что s2x = s2y = s2 . В этом случае оценкой дисперсии σ2 является средневзвешенная выборочная дисперсия

	ˆ 2		(nx -1)sx2		+ (ny -1)sy2		9 × 3,600 + 8 ×1,752
	σ	=				=		= 2,730 .
			nx	+ ny - 2			17

Если заранее известно, что большему выборочному среднему ( x < y ), не может соответствовать меньшее математическое

ожидание (aу ≥ ax), то альтернативная гипотеза принимает вид Н1 : aу > ax. В этом случае для проверки альтернативной гипотезы Н1 используется односторонний критерий Стьюдента

98

1

1

2

y - x

>

+

ˆ

tкр .

σ

nx

ny

Здесь tкр – критическое значение

распределения Стьюдента

(приложение Г), вычисленное при уровне значимости α и числе

степеней свободы k = nx+ny–2.

Если указанное неравенство

выполняется, то гипотеза Н1 :

aу > ax верна, в противном случае

мы признаем справедливость нулевой гипотезы Н0 : ax = aу.

В данном случае

−

=42,33–40,60=1,73. Из приложения Г

y

x

при α = 0,05 и k = 17 находим tкр = 2,11, тогда

1

1

2

1

1

+

ˆ

+

× 2,730 × 2,11 = 1,60 .

nx

σ tкр =

ny

10

9

Так как 1,60 < 1,73, то мы склоняемся в пользу альтернативной гипотезы Н1 : aу > ax. Следовательно, расхождение между выборочными средними x и y неслучайно, при 5% уровне значимо-

сти оно является существенным и приводит к значимому повышению производительности труда после усовершенствования обработки деталей.

Отметим, что если при сравнении двух дисперсий s2x и s2y было установлено, что s2x > s2y ( sx2 > s2y ), то для проверки гипо-

тезы Н1 : aу > ax следует использовать односторонний критерий Стьюдента вида

-

>

ν1t1 +ν 2t2

,

y

x

ν1

=

s

2

; ν2 =

s

2y

ν1 +ν 2

где

; t1

и t2 – квантили распределения Стьюден-

x

ny

nx

та (приложение Г), вычисленные при уровне значимости α и числах степеней свободы k1 = nx–1 и k2 = ny–1 соответственно.

99

Задачи для отчета преподавателю

Таблица 8.1 –		Производительности двух различных режимов
Номер	Режим							Количество деталей за смену
по пор.
1		А		58	60		59		62		61		59		57		60		58
		В		60	60		59		62		62		62		61		62		60		61
2		А		43	46		46		45		45		48		46		46		48		46
		В		44	46		47		45		47		48		48		47		48
3		А		36	34		38		37		36		35		38		39		37		35
		В		39	38		38		37		37		37		38		39		38		39
4		А		52	54		50		51		54		51		50		50		52
		В		52	54		52		51		54		53		54		53		52
5		А		71	74		70		75		75		73		72		72		70
		В		72	74		72		75		75		73		72		73		71
6		А		64	69		63		64		70		68		70		67		66
		В		70	72		73		71		70		70		70		71
7		А		56	56		57		55		54		56		56		55
		В		59	57		57		58		57		58		56		56		58
8		А		49	50		47		50		50		49		50		47
		В		50	50		49		51		50		51		51		49
9		А		80	83		82		80		83		79		73		76
		В		82	83		82		83		83		82		84
10		А		71	69		69		70		67		65		66
		В		71	69		69		70		69		69		70		70
Таблица 8.2 –		Средние заработные платы работников двух предприятий
Номер	Пред-					Средняя заработная плата за месяц (грн)
по пор.	приятие
11		А		675		685		675	675		680	674		678			683		670		620
		В		675		685		680	675		680	680		680			684		681
12		А		590		592		620	625		612	630		615			624		622
		В		620		615		620	625		621	630		620			626		628		620
13		А		780		800		804	796		737	778		790			792		795		800
		В		780		800		804	796		810	814		816			810		820		820
14		А		662		654		670	672		624	615		639			660		662		625
		В		662		654		670	672		680	678		682			660		688		690
15		А		854		812		842	858		840	834		874			828		835
		В		854		855		842	858		865	870		874			865		868
16		А		702		704		707	705		684	690		710			698		690
		В		705		704		708	705		710	715		713			715
17		А		812		820		815	850		845	852		840			848
		В		834		838		835	850		848	852		840			848		850
18		А		735		742		748	735		700	680		690			702
		В		735		742		748	735		740	745		736			735
19		А		832		810		800	810		820	812		815
		В		832		820		800	810		828	822		815			820
20		А		908		920		892	922		928	905		928			910
		В		922		920		915	922		928	925		928

100

Таблица 8.3 – Средние удои молока на двух фермах от одной коровы за день

	Номер	Ферма	Средний удой молока от одной коровы за день (л)
	по пор.
	21	А	22,4	21,2	23,8	24,8	20,0	19,6	22,3	20,1	20,4	24,0
		В	22,4	21,2	23,8	24,8	23,6	24,8	23,5	23,8	23,4	24,0
	22	А	19,8	21,2	20,8	20,2	20,6	19,6	19,4	20,8	20,4	19,8
		В	21,4	21,2	20,8	20,2	21,4	21,0	21,3	20,8	21,4
	23	А	26,0	27,4	25,8	24,8	25,6	26,4	25,4	27,2	27,4
		В	26,2	27,4	26,8	27,4	25,6	27,5	25,4	27,0	27,2	26,0
	24	А	22,4	22,9	20,4	22,8	20,6	20,0	22,2	22,1	21,0
		В	22,4	22,9	22,0	22,8	22,6	22,3	22,2	22,8
	25	А	24,3	24,1	25,2	25,8	25,0	25,6	25,4	25,5
		В	24,3	24,1	23,0	22,2	25,0	25,6	22,4	22,0	22,6
	26	А	28,4	28,0	28,2	28,4	28,5	28,5	28,3	28,4	28,3
		В	28,4	28,2	26,4	25,6	25,8	28,6	26,2	28,4	28,3
	27	А	30,2	29,4	28,6	30,0	29,8	29,4	29,7	29,5	30,0
		В	26,4	29,4	28,6	28,4	29,8	27,8	29,7	27,2	27,5
	28	А	21,0	21,5	21,2	21,8	21,4	21,5	21,3	21,2
		В	21,0	20,1	21,2	21,8	21,4	20,0	21,3	20,8
	29	А	24,3	24,2	24,0	24,2	23,9	23,9	24,1
		В	23,0	23,8	22,1	24,2	23,9	22,9	24,1	22,0
	30	А	26,0	26,4	26,8	26,2	25,8	26,2	26,4	25,8
		В	25,0	25,6	24,0	24,3	25,8	24,3	26,4

Таблица 8.4 – Средние урожайности пшеницы в двух хозяйствах области

	Номер	Хозяй-		Средняя урожайность пшеницы в год (ц/га)
	по пор.	ство
	31	А	39,8	39,0	38,4	40,8	41,7	39,2	40,7	41,1	42,2
		В	40,8	41,4	40,8	42,4	41,7	42,0	40,7	41,1	42,4	42,6
	32	А	41,4	41,8	40,4	41,0	40,8	41,6	41,5	41,7	41,8	40,6
		В	41,4	39,4	39,7	41,0	40,6	39,2	41,5	39,8	41,8
	33	А	46,4	46,8	48,3	47,5	45,2	47,6	48,5	46,4	45,5	45,8
		В	48,6	47,8	48,3	47,5	47,8	47,6	48,5	48,2	47,8	47,9
	34	А	49,4	50,1	49,6	50,1	50,2	50,4	50,0	50,4	50,0	49,6
		В	49,4	48,4	49,6	49,2	50,2	48,2	49,0	50,4	48,8	48,1
	35	А	42,0	40,4	39,8	39,0	38,4	38,9	40,9	41,0	41,5
		В	42,0	41,4	41,6	41,2	41,5	41,9	40,9	41,2	41,5
	36	А	48,4	49,3	48,8	48,5	48,5	48,6	49,2	48,8
		В	48,4	49,3	47,0	47,2	47,9	48,6	47,2	48,0	49,5
	37	А	40,2	42,4	41,3	43,1	42,0	39,8	43,5	43,0	42,6
		В	42,3	42,4	42,2	43,1	42,5	42,8	43,5	43,0
	38	А	52,8	53,1	53,5	53,1	52,2	52,9	52,9	53,5
		В	51,9	52,8	53,5	50,2	50,0	52,9	50,7	53,5
	39	А	56,8	56,2	56,4	57,0	56,5	56,8	56,7	56,5
		В	56,8	55,8	53,5	56,5	54,2	55,8	56,7
	40	А	47,1	48,0	47,4	47,8	47,3	48,2	47,4
		В	45,1	48,0	47,4	46,4	45,2	48,2	45,0	47,4

101

Таблица 8.5 – Дневные выручки двух продовольственных магазинов

	Номер	Мага			Дневная выручка магазина (грн)
	по пор.	зин
	41	А	5023	4970	4985	4974	5048	4996	5016	4978	4918	5028
		В	4676	4970	4985	4638	4720	4816	4935	4917	4918	5028
	42	А	3718	3812	3716	3875	3788	3852	3794	3790	3802	3755
		В	3516	3728	3716	3792	3788	3746	3794	3775	3802
	43	А	3112	2874	3095	3158	2818	3175	3114	2955	3118
		В	3184	3214	3184	3158	3125	3175	3114	3192	3118	3195
	44	А	2926	3078	3012	3074	2996	3098	3076	3104	3098
		В	2926	3072	2584	3074	2812	3098	2702	3104	2616
	45	А	4018	3993	4078	4053	3972	3978	3926	4012
		В	4018	3702	3718	4053	3604	3808	3926	3698	3874
	46	А	2872	3094	3118	3173	2916	3102	2713	3090	2816
		В	3056	3094	3172	3173	3107	3155	3101	3090
	47	А	6212	6176	6014	5936	5973	6088	6113	5902
		В	6212	6202	6173	6114	6154	6088	6113
	48	А	4099	4174	4101	4008	4155	4092	4150
		В	4099	3812	3879	3914	4155	3972	3715	4150
	49	А	2712	2930	3093	2614	2912	2516	3001
		В	2918	2930	3093	2903	2912	2920	3001	2910
	50	А	5026	4816	5073	4890	4818	4792	5098	5012
		В	5026	5092	5073	5014	5090	5017	5098	5012

Таблица 8.6 – Расход бензина на 1000 км пробега двух легковых автомобилей

	Номер	Автомо-		Расход бензина на 1000 км пробега (л)
	по пор.	биль
	51	А	80	78	79	75	80	78	81	77	79		80
		В	80	78	79	79	80	78	81	79	79		80
	52	А	90	90	89	89	91	91	90	89	91		90
		В	86	89	88	86	85	86	87	88	90
	53	А	77	79	81	78	81	79	80	79	78
		В	80	79	81	81	81	80	80	80	80		81
	54	А	60	58	59	61	59	58	61	59	59
		В	60	61	61	61	60	59	61	60	59
	55	А	88	87	87	88	86	87	87	88	83
		В	84	87	85	86	86	85	83	87
	56	А	72	70	69	69	71	72	70	71	70
		В	72	70	71	72	72	72	71	71
	57	А	70	71	70	70	69	70	70	71
		В	70	70	68	69	67	70	70	68
	58	А	64	65	65	65	63	64	63	65
		В	64	61	64	65	62	61	63	65
	59	А	78	74	77	72	76	77	73	76
		В	78	76	77	75	76	77	76
	60	А	90	93	93	92	91	91	92	92
		В	90	91	93	92	91	89	90

102